微分の公式一覧

このページでは、関数 $ f(x) $ を微分して得られる導関数 $ f'(x) $ の基本的な公式を掲載しています。また、 和や差、積、商の微分公式や合成関数の微分公式なども掲載しています。

導出方法はみなさん自身でご確認の上、公式を確認してくださいね。

微分公式のイメージ画像


もくじ

  1. 高校レベルの微分公式
    1. 導関数の定義
    2. 初等関数の微分
    3. 微分の公式
  2. 大学レベルの微分公式
    1. 逆三角関数と双曲線関数の微分

高校レベルの微分公式

導関数の定義

関数 $ f(x) $ を微分して得られる導関数 $ f'(x) $ は次式で定義される。

\begin{align*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \end{align*}

そもそも、微分の意味ってなんだっけ?という方は、「微分とは何か? - 中学生でも分かる微分のイメージ」をご覧になってください。

初等関数の微分

xrの導関数

$ r $ が有理数のとき

\begin{align*} (x^r)' &= r x^{r-1} \end{align*}


とくに、$ r = \frac{1}{2} $ のとき

\[ ( \sqrt{x} )' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

また、$ r = -1 $ のとき

\[ \left( \frac{1}{x} \right) ' = - \frac{1}{x^2} \]

三角関数の導関数

三角関数(sin, cos, tan)の微分は次の通りです。

\begin{align*} (\sin x )' &= \cos x \\[5pt] (\cos x)'& = - \sin x \\[5pt] \left( \tan x \right)' &= \frac{1}{\cos^2 x} \\[5pt] \end{align*}

タンジェントの微分については、後に示す商の微分公式から求めることが出来ます。

ちなみに、

\begin{align*} \left(\frac{1}{\tan x} \right)' &= - \frac{1}{\sin^2 x} \end{align*}

sin x と cos x の第 n 次導関数は次の通りです。

\begin{align*} \left(\sin x \right)^{(n)} &= \sin \left( x + \frac{1}{2}n \pi \right) \\ \left(\cos x \right)^{(n)} &= \cos \left( x + \frac{1}{2}n \pi \right) \end{align*}

指数関数・対数関数の導関数

指数関数と対数関数(log)の微分公式は次の通りです。

\begin{align*} \left(e^x\right)' &= e^x \\[5pt] (a^x )' &= a^x \log a \\[5pt] (\log x )' &= \frac{1}{x} \\[5pt] (\log_a x)' &= \frac{1}{x \log a} \\[5pt] (\log |x| )' &= \frac{1}{x} \\[5pt] (\log |f(x)| )' &= \frac{f'(x)}{f(x)} \\[5pt] \end{align*}

log x の第 n 次導関数は次の通りです。

\[ (\log x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} \]

→ 「対数関数 log x の微分公式とその証明

微分の公式

線形性と積や商の微分

関数の定数倍や和、差の微分について、関数 $ f(x) , g(x) $ が微分可能なとき

\begin{align*} \left\{ kf(x) \right\} ' &= kf'(x) \\[5pt] \left\{ {f(x) \pm g(x)}\right\}' &= f'(x) \pm g'(x) \\[5pt] \end{align*}

ただし $ k $ は定数である。

関数の積や商の微分は次の通りです。

\begin{align*} \left\{ {f(x)g(x)}\right\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\[5pt] \left\{ {\frac{f(x)}{g(x)}}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\[5pt] \end{align*}

最後に示した商の微分において、とくに $ f(x) = 1 $ のとき

\begin{align*} \left\{ {\frac{1}{g(x)}}\right\}' &= - \frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\ \end{align*}

合成関数の微分

微分可能な関数 $ y = f(u), u=g(x) $ の合成関数 $y=f(g(x))$ の導関数は

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\ \end{align*}

逆関数の微分

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\frac{dx}{dy}} \\ \end{align*}

ただし $ \frac{dx}{dy} \neq 0 $

媒介変数表示された関数の微分

$ x=f(t), y=g(t) $ のとき

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)} \\ \end{align*}

対数微分法

公式ではありませんが、両辺の対数を取ってから微分する方法です。

これを用いると、たとえば

\begin{align*} \left( x^x \right)' = x^x (\log x + 1) \\ \end{align*}

となります。

上式は、$ y=x^x $ とおいてから両辺の対数を取り、その両辺を $x$ で微分することで得られます。

大学レベルの微分公式

逆三角関数と双曲線関数の微分

逆三角関数の導関数

\begin{align*} \left( \arcsin x \right)' &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[5pt] \left( \arccos x \right)' &= - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[5pt] \left( \arctan x \right)' &= \frac{1}{1+x^2} \\[5pt] \end{align*}

双曲線関数の導関数

\begin{align*} \left( \sinh x \right)' &= \cosh x \\[5pt] \left( \cosh x \right)' &= \sinh x \\[5pt] \left( \tanh x \right)' &= 1-\tanh^2 x \\ &= \frac{1}{\cosh^2 x} \\[5pt] \end{align*}