三角関数の合成公式 - 三角関数の公式一覧

三角関数の合成とは、a sin θ + b cos θ のように、角 θ が等しいサインとコサインを、1つのサインの関数にまとめることです。三角関数の合成公式は、次の式で表されます。

\begin{align*} a\sin\theta + b\cos\theta &= \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha) \\[5pt] \text{ただし} \\[5pt] \cos\alpha &= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\[5pt] \sin\alpha &= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\[5pt] \end{align*}

上の式ではサインの形に合成しましたが、実はコサインの形に合成することもできます。この点には後ほど触れます。

三角関数の合成を行うことで、変数 θ を1か所にまとめられるというメリットが生まれます。このページ後半で、関数の最大値や最小値を求める問題を実際に解いて、この意味を確認してみましょう。



もくじ

  1. 三角関数の合成公式
  2. 三角関数の合成公式の導出方法
  3. 三角関数の合成公式を使う計算問題
    1. 単純に三角関数を合成する問題
    2. 関数の最大値・最小値を求める問題

三角関数の合成公式

前述の通り、三角関数の合成公式は、一般に次の式で表されます。

\begin{align*} a\sin\theta + b\cos\theta &= \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha) \\[5pt] \text{ただし} \\[5pt] \cos\alpha &= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\[5pt] \sin\alpha &= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\[5pt] \end{align*}

それでは、この式がどのように導かれるのかを見ていきましょう。

三角関数の合成公式の導出方法

三角関数の合成公式は、加法定理を(逆に)利用することで導かれます。

角 α を取ることで三角関数を合成できる
角 α を取ることで三角関数を合成できる

上の図のように、点P(a, b) をとり、線分OPがx軸の正の向きとなす角を α とすると、

\[ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\alpha,\quad \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cos\theta \]

となります。よって、次にように式変形することができます。

\begin{align*} a\sin\theta + b\cos\theta &= \sqrt{a^2+b^2}\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta +\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta \right) \\[5pt] &= \sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta) \\[5pt] &=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha) \\[5pt] \end{align*}

一番最後の式変形では、サインの加法定理を(逆に)用いました。

以上が、三角関数の合成公式を証明することができました。


それでは、この公式を使って、計算問題を解いてみましょう!

三角関数の合成公式を使う計算問題

単純に三角関数を合成する問題

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta $ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ

この問題は $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよという問題ですが、コサインの形に変形することもできます。解答の後半では、コサインへの合成方法を示します。


$ a=\sqrt{3},\,b=1 $ と考えると、三角関数の合成公式より、次のように r と α の値を得ることができます。

\[ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = 2\]

\[ \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad\sin\alpha=\frac{1}{2} \]

これを満たす角 α は

\[ \alpha = \frac{\pi}{6} \]

なので

\begin{align*} \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta &= 2\sin\left( \theta+\frac{\pi}{6} \right) \end{align*}

と、sin の形に合成できました。


コサインへの合成

今回の例題をサインの形ではなく、コサインの形 $r\cos(\theta-\alpha)$ に合成することを考えてみましょう。

先ほどは、関数を $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta $ と見ましたが、ここでは項の順番を逆にして、$\cos\theta +\sqrt{3}\sin\theta$ と見ます。下の図のように、点$\mathrm{P}(1,\sqrt{3}) $ をとると、$r=\mathrm{OP}=2 $、動径OPの表す角は $\frac{\pi}{3}$ です。

コサインへ合成するときの角 α の図
コサインへ合成するときの角 α の図

したがって、コサインの加法定理を(逆に)用いると、次のように cos の形に合成することが出来ます。

\begin{align*} \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta &= 2\left( \frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta \right) \\[5pt] &= 2\left( \cos\theta\cos\frac{\pi}{3} +\sin\theta\sin\frac{\pi}{3} \right) \\[5pt] &= 2\cos\left( \theta-\frac{\pi}{3} \right) \\[5pt] \end{align*}

このように、三角関数の合成は sin の形に限ったものではなく、cos の形に合成することもできるのです。

ちなみに、cos の形に合成することを考えると、ベクトルの内積として見ることもできますね…。

関数の最大値・最小値を求める問題

角 α が明確に求まる場合

$ 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} $ のとき、$ \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta $ の最大値を求めよ。

三角関数の合成公式を用いて、変数 θ を1か所にまとめます。

\begin{align*} \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}

この関数の定義域は、$ 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} $ より $ \frac{\pi}{3} \leqq \theta+\frac{\pi}{3} \leqq \frac{5}{6}\pi $ です。

関数の定義域と値域。関数は単位円上のθ=π/3からθ=5π/6を動く。この時の値域は、1/2から1である。
関数 $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$ の定義域と値域

したがって、上の図より

\[ \frac{1}{2} \leqq \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \leqq 1 \]

ゆえに

\[ 1 \leqq 2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \leqq 2 \]

よって最大値は 2 である。

角 α が明確に求まらない場合

$ \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} $ のとき、$ 3\sin\theta + 4\cos\theta $ の最大値を求めよ。

この問題は上の問題と違い、α の値が求まらないタイプです。しかし、α の関係式から、θ+α が動く範囲を考えて解くことができます。

それでは、上の問題同様に、三角関数の合成公式を用いて、変数 θ を1か所にまとめます。

\begin{align*} 3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin\left(\theta+\alpha\right) \\[5pt] \end{align*}\begin{align*} \text{ただし} & \\[5pt] \cos\alpha &=\frac{3}{5},\,\sin\alpha=\frac{4}{5} \end{align*}

角 α の値は求まりませんが、上の関係より、第1象限の角であることが分かります。さらに、

\[ \sin\alpha=\frac{4}{5} \lt \sin\frac{\pi}{3} \]

より、下の図で $\angle AOX \lt \frac{\pi}{3} $ であることが分かります。

問いの関数の定義域と値域。関数は半径5の円周上の第1象限上の点から第2象限上の点へと動く。この時の最大値は5であることが分かる。
関数 $5\sin\left(\theta+\alpha\right)$ の定義域と値域

よって、$ \frac{\pi}{6}+\alpha \leqq \theta+\alpha \leqq \frac{\pi}{2}+\alpha $ のとき、関数 $5\sin\left(\theta+\alpha\right)$ は、上の図の半径5の円周上を、点Pから点Qまで動くときの y 座標を示すことになります(図の青色矢印の範囲)。

したがってこの関数の最大値は 5 であることが分かりました。

次のページでは、三角関数の公式を一覧にまとめています。