偏差の意味と求め方

偏差とは、個々の数値と平均値との差のことです。個々のデータが平均値から偏っている程度を表しています。

偏差を式で表すと次のようになります。

偏差を求める式

偏差 $= x_i - \overline{x} $

ここで、
 $x_i$ は個々の数値
 $\overline{x}$ はデータの平均値
を表しています。

このページでは、偏差の求め方を具体例を使って分かりやすく説明しています。

なお、偏差の二乗平均が分散で、その正の平方根が標準偏差です。



もくじ

  1. 偏差の求め方

偏差の求め方

偏差とは、個々の数値と平均値との差のことです。個々のデータが平均値から偏っている程度を表しています。

偏差は次の式で求めることができます(式の意味を無理に理解する必要はありません)。

偏差を求める式

偏差 $= x_i - \overline{x} $

ここで、
 $x_i$ は個々の数値
 $\overline{x}$ はデータの平均値
を表しています。

それでは、例題を解いて、具体的に偏差を求めてみましょう。

次に示す、英語の得点データの各人の偏差を求めよ。

英語の得点データ
 点数
A さん71($=x_1$)
B さん80($=x_2$)
C さん89($=x_3$)

偏差を求めるにはまず、平均値を計算します。平均値は、データの和をデータの個数で割ることで求められます。

平均値を $\overline{x}$ で表すと、次のように計算できます。

\begin{align*} \overline{x} &= \frac{71+80+89}{3} \\[5pt] &= 80 \end{align*}

よって、平均値 $\overline{x}=80$ と求まりました。

次に、各データ($x_i$)から平均値($\overline{x}$)を引くことで、偏差を求めることができます。

A さんの偏差は
(A さんの得点 $x_1$)-(平均値 $\overline{x}$)=$71-80 = -9$ と求まります。

同様に、B さんの偏差は
(B さんの得点 $x_2$)-(平均値 $\overline{x}$)=$80-80 = 0$

C さんの偏差は
(C さんの得点 $x_3$)-(平均値 $\overline{x}$)=$89-80 = 9$ と求まります。

これで、例題を解くことができました。計算で求まった平均値と偏差を、先ほどの表に書き加えると、次のようになります。

英語の得点データと平均値、偏差
 点数偏差
A さん71($=x_1$)-9($=x_1-\overline{x}$)
B さん80($=x_2$)0($=x_2-\overline{x}$)
C さん89($=x_3$)9($=x_3-\overline{x}$)
平均値80($=\overline{x}$)

平均点(80 点)よりも点数の低い A さんの偏差(-9 点)は負で、平均点(80 点)よりも点数の高い C さんの偏差(9 点)は正であることが分かります。

平均点(80 点)と同じ点数の B さんの偏差は 0 点であり、これは平均値からの偏りがないことを表しています。

以上が偏差を求める方法です。続いて、もう一問例題を解いてみましょう。

それでは、別のデータで偏差を求める練習をしてみましょう。

次に示す、数学の得点データの各人の偏差を求めよ。

数学の得点データ
 点数
A さん77($=x_1$)
B さん80($=x_2$)
C さん83($=x_3$)

偏差を求めるにはまず、データの平均値を計算します。平均値 $\overline{x}$ は

\begin{align*} \overline{x} &= \frac{77+80+83}{3} \\[5pt] &= 80 \end{align*}

より、80 点と求まりました。前の例題と一緒ですね…。

続いて、それぞれの点数からこの平均値を引くと、偏差が求まります。

A さんの偏差は
(A さんの得点 $x_1$)-(平均値 $\overline{x}$)=$77-80 = -3$ と求まります。

同様に計算すると、B さんの偏差は 0 点、C さんの偏差は 3 点と求まります。

これらの結果を表に書き加えると、次のようになります。

数学の得点データと平均値、偏差
 点数偏差
A さん77($=x_1$)-3($=x_1-\overline{x}$)
B さん80($=x_2$)0($=x_2-\overline{x}$)
C さん83($=x_3$)3($=x_3-\overline{x}$)
平均値80($=\overline{x}$)