円柱の表面積の求め方 - 公式と計算例

円柱の表面積を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} S &= 2\pi r^2+ 2\pi rh \\[5pt] &= 2\pi r(r+h) \end{align*}

ここで、S は円柱の表面積、π は円周率、r は底面の円の半径、h は高さを表します。

小学生向けに、文字を使わずに書くと次のようになります。

(円柱の表面積)= 2×(円周率)×(底面の円の半径)×{(底面の円の半径)+(高さ)}

円柱の表面積を求めるには、この公式に底面の半径 r と高さ h を代入すればよいだけです。

このページの続きでは、この公式の導き方と、計算問題の解き方を説明しています。



もくじ

  1. 円柱の表面積を求める公式
    1. 公式の導き方
  2. 円柱の表面積を求める計算問題
    1. 底面の半径と高さから表面積を求める問題
    2. 底面積と側面積の比を求める問題

円柱の表面積を求める公式

前述の通り、円柱の表面積 S を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} S &= 2\pi r^2+ 2\pi rh \\[5pt] &= 2\pi r(r+h) \end{align*}

特に側面積だけに限ると、

\begin{align*} \text{側面積} = 2\pi rh \end{align*}

の形になります。

この式に出てくる文字の意味は、次の通りです。

S
円柱の表面積(Surface area)
π
円周率(= 3.14…)
r
底面の円の半径(radius)
h
高さ(height)

公式の導き方

ここからは、円柱の表面積を求める公式の導き方についてご説明します。

すぐに計算問題を解きたいという方や、公式を使わずに計算をしたいという方は、次の「計算問題」にお進みください


それでは、下に示した半径 r、高さ h の円柱を考えます。

半径 r、高さ h の円柱
半径 r、高さ h の円柱

円柱の表面積を考えるときのポイントは、側面を展開したときの長方形の辺の長さを求めることです。

円柱の展開図
円柱の展開図

側面を展開して得られる長方形の1辺の長さは、円柱の高さ h に等しいことが分かります。

もう1辺の長さがポイントです。ここは展開する前は底面の円周と接していた部分(図の赤色の線に注目)なので、長さは底面の円周の長さと等しく、$ 2\pi r $になります。この点が理解できれば、あとは円と長方形の面積を求めればよいだけですね。

底面積は $ \pi r^2 $ であり、底面は2つあるのでこれを2倍します。側面積は、長方形の面積より $ 2\pi r \times h $ で求めることが出来ますね。

したがって、円柱の表面積は

\begin{align*} S &= 2 \times \pi r^2+ 2\pi r \times h \\[5pt] &= 2\pi r(r+h) \end{align*}

となり、公式を導くことができました。


続いては、計算問題の解き方を、例題を使って説明します。

円柱の表面積を求める計算問題

底面の半径と高さから表面積を求める問題

底面の半径 3、高さ 4 の円柱の表面積 S を求めよ。

底面の半径 3、高さ 4 の円柱
底面の半径 3、高さ 4 の円柱

公式を使って解く方法

円柱の表面積を求める公式を覚えていれば、ただそれに代入すればいいだけですね。$ r = 3, h=4 $ より

\begin{align*} S &= 2\pi r(r+h) \\[5pt] &= 2\pi \times 3 \times (3+4) \\[5pt] &= 42\pi \end{align*}

公式を使わずに解く方法

公式を使わない場合は、一度展開図を書いて考えてみましょう。

円柱の展開図
円柱の展開図

まず、底面積は $ \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi $ と求まります。

次に、「(側面を展開してできる)長方形の1辺の長さ」と「底面の円周の長さ」は等しく、ともに $ 2 \pi r = 2 \pi \times 3 = 6 \pi $ です。

よって側面積は、1辺が $ 6\pi $、もう1辺が円柱の高さ $4$ の長方形の面積より、$ 6\pi \times 4 = 24\pi $ と求まります。

あとは、底面積側面積を足すだけです。ただし、底面は2つあるので、底面積を2倍するのを忘れないようにしましょう。

\begin{align*} S &= 2 \times \text{(底面積)}+\text{(側面積)} \\[5pt] &= 2 \times 9\pi + 24\pi \\[5pt] &= 42\pi \end{align*}

底面積と側面積の比を求める問題

※ 文字式を使った問題なので、中学生向けになりますね。

底面の半径 r、高さ h の円柱の、底面積と側面積の比を求めよ。

底面は半径 r の円なので、底面積は $ \pi r^2 $ です。

側面積は、(底面の円周の長さ)×(円柱の高さ)より、$ 2\pi r \times h $ です。

よって求める比は

\begin{align*} \text{(底面積)} : \text{(側面積)} &= \pi r^2 : 2\pi rh \\[5pt] &= r:2h \end{align*}

となります。

他の立体図形の表面積の求め方は、次のページでご覧になれます。