ひし形の面積の求め方 - 公式と計算例

ひし形の面積を求める公式は、次の通りです。

(ひし形の面積)=(たての対角線)×(よこの対角線)÷ 2

ひし形とその2つの対角線
ひし形とその2つの対角線

このページでは、この公式の導き方と、ひし形の面積を求める計算問題の解き方を説明しています。



もくじ

  1. ひし形の面積を求める公式
    1. 公式の導き方
  2. ひし形の面積を求める計算問題
    1. 2つの対角線の長さから面積を求める問題
    2. 三平方の定理と組み合わせて面積を求める問題

ひし形の面積を求める公式

前述の通り、ひし形の面積を求める公式は、次の通りです。

(ひし形の面積)=(たての対角線)×(よこの対角線)÷ 2

この公式がどのように得られるのか、考えていきましょう。

公式の導き方

ひし形の定義は「全ての辺の長さが等しい四角形」であり、「2つの対角線は互いに垂直に交わる」という性質があります。

さて、下の図のようにひし形を2つの対角線で区切ると、4つの直角三角形に分けることができます。この三角形はすべて同じ形(合同)になります。

ひし形を2つの対角線で4つの直角三角形に分けた
ひし形を2つの対角線で4つの直角三角形に分けた

この4つの直角三角形を並び替えると、下の図のように長方形にすることが出来ます。

ひし形を分割して並び替えると、長方形になる
ひし形を分割して並び替えると、長方形になる

ところで、長方形の面積は、(たて)×(よこ)で求められますね。上の長方形の横の長さは「横の対角線の長さ」に等しいことが分かります。そして、たての長さは「たての対角線の半分の長さ」です。

よって、この長方形の面積は

(長方形の面積)=(たての対角線)×(よこの対角線)÷ 2

となります。

最後に、この長方形はひし形を分けて並び替えたものなので、ひし形の面積と同じです。よって、ひし形の面積も上の式で求められるのです。


続いては、この公式を使って計算問題を解いてみましょう!

ひし形の面積を求める計算問題

2つの対角線の長さから面積を求める問題

下の図に示したひし形の面積を求めよ。

2つの対角線の長さが 3cm と 5cm のひし形

図より、2つの対角線の長さは 4 cm と 9 cm です。この値を、ひし形の面積を求める公式に代入して

\begin{align*} \text{ひし形の面積} &= \text{縦の対角線}\times \text{横の対角線}\div 2 \\[5pt] &= 4 \times 9 \div 2 \\[5pt] &= 18 \,\textrm{[cm}^2 \textrm{]}\end{align*}

となります。

三平方の定理を組み合わせて面積を求める問題

次の問題は、三平方の定理を使うため、中学3年生以上向けです。

下の図に示したひし形の面積を求めよ。

一辺の長さが 2 cm、一つの内角が 120° のひし形

この問題では、ひし形の面積を求めるの必要な、2つの対角線の長さが与えられていないため、これを求める必要があります。そこでまず、2つの対角線を図に書きこんでみましょう。

ここで、「ひし形の対角線は頂点の角を二等分する」ので、対角線で分けられた三角形の一つの角は 120° の半分、つまり 60° であることが分かります。さらに、ひし形の対角線は垂直に交わるので、結果的にこの三角形の内角は 30°、60°、90° であることが分かります。

問題のひし形に、必要な辺の長さを計算して記入した図
問題のひし形に、必要な辺の長さを計算して記入した図

この角度(三角定規にある角度)を持つ三角形は、特殊な三角形で、3辺の比が $ 1:2:\sqrt{3} $ であることを覚えておく必要がありますね。したがって、上の図のように、斜辺の長さから、残り2辺の長さが求まります。

ここから2つの対角線の長さが分かるので、ひし形の面積 S は次のように求まります。

\begin{align*} S &= \frac{\text{縦の対角線}\times \text{横の対角線}}{2} \\[5pt] &= \frac{2 \times 2\sqrt{3}}{2} \\[5pt] &= 2\sqrt{3} \,\textrm{[cm}^2 \textrm{]}\end{align*}


または、公式を使わずに、直角三角形の面積を4倍してもいいですね。

\begin{align*} S &= \left( \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3}\right) \times 4 \\[5pt] &= 2\sqrt{3} \,\textrm{[cm}^2 \textrm{]}\end{align*}

他の平面図形の面積の求め方は、次のページでご覧になれます。