三角形の合同条件

三角形の合同条件

ここでは、三角形の合同条件を図と共に確認していきましょう。

三角形の合同条件は、次の3つがあります。

3組の辺がそれぞれ等しい

「3組の辺がそれぞれ等しい」とは、上の2つの三角形で

\begin{align*} AB&=A'B' \\[5pt] BC&=B'C' \\[5pt] CA&=C'A' \\[5pt] \end{align*}

が成り立つときをいいます。

この条件を、3辺相当（SSS: Side-Side-Side）とも言います。

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」とは、上の2つの三角形で

\begin{align*} AB&=A'B' \\[5pt] BC&=B'C' \\[5pt] \angle B&=\angle B' \\[5pt] \end{align*}

が成り立つときをいいます。

この条件を、2辺夾角相当（SAS: Side-Angle-Side）とも言います。

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」とは、上の2つの三角形で

\begin{align*} BC&=B'C' \\[5pt] \angle B&=\angle B' \\[5pt] \angle C&=\angle C' \\[5pt] \end{align*}

が成り立つときをいいます。

この条件を、2角夾辺相当（ASA: Angle-Side-Angle）とも言います。

以上3つの合同条件のうち、どれか1つでも満たす三角形は、合同であるといえます。

三角形の合同条件は中学2年で学習すると思いますが、中学3年で学習する三角形の相似条件と似ています。相似条件との類似点も意識しながら、覚えるとよいでしょう。

ちなみに合同とは、2つの図形が重ね合わせられる関係にあることをいうのでしたね。合同な図形の対応する線分の長さや、対応する角の大きさは等しいという性質があります。

直角三角形の合同条件

直角三角形の1つの角は直角と決まっているので、このことから次の「直角三角形の合同条件」が定理として導かれます。

斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい直角三角形とは、下の図のような三角形です。

斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい直角三角形とは、下の図のような三角形です。

この条件を、斜辺他1辺相当（RHS: Right-angle-Hypotenuse-Side）とも言います。

上の2つの合同条件のうち、どちらかが成り立つ場合、その2つの直角三角形は合同であるといえます。

合同な三角形の証明問題

三角形の合同条件を使って、簡単な証明問題を解いてみましょう。

下の図で合同な三角形を見つけ、それらが合同であることを証明せよ。

パッと見で、三角形ABDと三角形CBDが合同でありそうなことは分かりますね（そもそも、三角形はこの2つしか描かれてないので…）。では、対応する辺や角に気を付けながら、証明していきましょう。

証明

△ABD と △CBD で

\begin{align*} ∠ABD &= ∠CBD \text{（仮定）} & & \cdots ① \\[5pt] ∠ADB &= ∠CDB \text{（仮定）} 　&　&\cdots ②\\[5pt] BD &= BD \text{（共通な辺）} 　&　&\cdots ③ \end{align*}

①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから

△ABD ≡ △CBD

となり、2つの三角形が合同であることを示せました。