円錐の体積の求め方 - 公式と計算例

円錐の体積を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} V &= \frac{1}{3} Sh \\[5pt] &= \frac{1}{3} \pi r^2 h \end{align*}

ここで、V は円錐の体積、S は底面積、h は高さを表します。

また、2行目における π は円周率、r は底面の円の半径です。

円錐の体積を求めるには、この公式に底面の半径 r と高さ h を代入すればよいだけです。このページの続きでは、例題を使って、この公式の使い方を説明しています。



もくじ

  1. 円錐の体積を求める公式
  2. 円錐の体積を求める計算問題
    1. 底面の半径と高さから体積を求める問題
    2. 円錐台の体積を求める問題

円錐の体積を求める公式

前述の通り、円錐の体積 V を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} V &= \frac{1}{3} Sh \end{align*}

底面の円の面積 S について、

\[ S = \pi r^2 \]

なので、これを上式に代入すると

\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \pi r^2 h \end{align*}

の形にもできます。

この式に出てくる文字の意味は、次の通りです。

V
円錐の体積(Volume)
S
底面の面積
h
高さ(height)
π
円周率(= 3.14…)
r
底面の円の半径(radius)

この公式に出てくる 1/3 って何?という疑問を持つ方が多いと思います。その答えは高校2年生で「積分」の勉強をすることで得られます。

積分って何?と興味を持ってくれた方のために、計算式だけお見せしますね(肝心なのは体積や積分といった概念ですが…)。

\begin{align*} \int_{0}^{h} \pi \left(r \cdot \frac{x}{h} \right)^2 \,dx &= \frac{\pi r^2}{h^2} \int_{0}^{h} x^2 \, dx \\[5pt] &= \frac{\pi r^2}{h^2} \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{h} \\[5pt] &= \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{1}{3} h^3 \\[5pt] &= \frac{1}{3} \pi r^2 h \\[5pt] \end{align*}

続いては、この公式を使って円錐や円錐台の体積を求める方法を、例題を使って説明します。

円錐の体積を求める計算問題

底面の半径と高さから体積を求める問題

底面の半径 2、高さ 3 の円錐の体積 V を求めよ。

円錐の体積の公式に代入すればいいだけですね。

\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \pi r^2 h \\[5pt] &= \frac{1}{3} \pi \times 2^2 \times 3 \\[5pt] &= 4 \pi \\ \end{align*}

円錐台の体積を求める問題

下図のように、底面の半径 4、高さ 6 の円錐を、高さ 3 の点を通り底面に平行な平面で切った図形がある(円錐台)。この立体の上底の半径は 2 である。この立体の体積を求めよ。

円錐台の図
円錐台の図

この立体の体積は、元の円錐(底面の半径4、高さ6)から、切り取られた小さな円錐(底面の半径2、高さ3)の体積を引くことで求めることが出来ます。

したがって、求める体積 V は

\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 6 - \frac{1}{3} \pi \times 2^2 \times 3 \\[5pt] &= 28 \pi \\ \end{align*}

となります。

ちなみに、今回の問題では、計算に使用する4つの数値をすべて与えましたが、中学3年で学習する相似を用いれば、3つの数値から残り1つの数値を求めることが出来ます。

頂点、底面の中心、底面の円周上の点 の3つを通る断面を考えれば、相似比2の関係にある2つの三角形を見つけることができるでしょう。

他の立体図形の体積の求め方は、次のページでご覧になれます。