球の体積の求め方 - 公式と計算例

球の体積を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} V = \frac{4}{3} \pi r^3 \end{align*}

ここで、V は球の体積、r は球の半径、π は円周率を表します。

球の体積を求めるには、この公式に球の半径 r を代入すればよいだけです。このページの続きでは、例題を使って、この公式の使い方を説明しています。



もくじ

  1. 球の体積を求める公式
  2. 球の体積を求める計算問題
    1. 半径から球の体積を求める問題
    2. 2種類の球の体積比を求める問題

球の体積を求める公式

前述の通り、球体の体積 V を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} V = \frac{4}{3} \pi r^3 \end{align*}

この式に出てくる文字の意味は、次の通りです。

V
球の体積(Volume)
r
球の半径(Radius)
π
円周率(= 3.14…)

どのようにして、この公式が得られるのか?というのが疑問だと思いますが、その答えは高校2年生で「積分」の勉強をすることで得られます。

積分って何?と興味を持ってくれた方のために、計算式だけお見せしますね(肝心なのは体積や積分といった概念ですが…)。

\begin{align*} \int_{-r}^{r} \pi (r^2-x^2) \,dx &= 2 \int_{0}^{r} \pi (r^2-x^2) \, dx \\[5pt] &= 2 \pi \left[ r^2 x - \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{r} \\[5pt] &= 2 \pi \left( r^3 - \frac{1}{3} r^3 \right) \\[5pt] &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\[5pt] \end{align*}

球の体積を求める計算問題

半径から球の体積を求める問題

半径 3 の球の体積 V を求めよ。

球の体積の公式に代入すればいいだけですね。

\begin{align*} V &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\[5pt] &= \frac{4}{3} \pi \times 3^3 \\[5pt] &= 36 \pi \\ \end{align*}

2種類の球の体積比を求める問題

球1 の半径は 球2 の半径の2倍である。球2 の体積は 球1 の体積の何倍か?

球1 の半径を $ r_1 $、体積を $ V_1 $、球2 の半径を $ r_2 $、体積を $ V_2 $ とします。

それぞれの球の体積は公式より

\begin{align*} V_1 &= \frac{4}{3} \pi r_1^3 \\[5pt] V_2 &= \frac{4}{3} \pi r_2^3 \\[5pt] \end{align*}

したがって、球1 の体積に対する 球2 の体積の比 $ \frac{V_2}{V_1} $ は

\begin{align*} \frac{V_2}{V_1} &= \frac{\frac{4}{3} \pi r_2^3}{\frac{4}{3} \pi r_1^3} \\[5pt] &= \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3 \\[5pt] \end{align*}

問題文より、$ \frac{r_2}{r_1} = 2 $ であるから

\begin{align*} \frac{V_2}{V_1} &= 2^3 \\[5pt] &= 8 \,\text{[倍]} \\ \end{align*}

となります。


別の解き方として、「相似な図形の体積比は相似比の3乗比」であることを使うと、次のように簡単に求まります。

\begin{align*} V_1 : V_2 &= 1^3 : 2^3 \\ &= 1 : 8 \end{align*}

他の立体図形の体積の求め方は、次のページでご覧になれます。