標準偏差の意味と求め方 - 公式と計算例

標準偏差とは、データの散らばりの度合いを示す値です。標準偏差を求めるには、分散(それぞれの数値と平均値と差の二乗平均)の正の平方根を取ります

データが平均値の周りに集中していれば標準偏差は小さくなり、逆に平均値から広がっていれば標準偏差は大きくなります。

標準偏差 $s$ は、次の公式で求めることができます。

標準偏差 $s$ を求める公式

\begin{align*} s &= \sqrt{s^2} \\[5pt] &= \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{n=1}^n(x_i-\overline{x})^2} \end{align*}

ここで、
 $s^2$ は分散
 $n$ はデータの総数
 $x_i$ は個々の数値
 $\overline{x}$ は平均値
を表します。

この式をいきなり見てもよく分からないと思いますが、平均値と偏差分散を順番に計算することで、標準偏差を簡単に求めることができます。

このページでは、標準偏差の意味求め方を、例題を用いて分かりやすく説明しています。



もくじ

  1. 標準偏差とは
  2. 標準偏差の求め方

標準偏差とは

標準偏差とは、データの散らばりの度合いを表す値です。データの散らばりが大きいと標準偏差も大きくなり、散らばりが小さいと標準偏差は 0 に近づきます。

例として、次の二つのデータの標準偏差を比べてみましょう。英語と数学の 2 つの試験を A さん、B さん、C さんの三人が受けた結果と平均点、分散、標準偏差を表にまとめました。

これらの標準偏差は、後の標準偏差の求め方の例題で計算します。

英語と数学の得点データと平均値、分散、標準偏差
 英語数学
A さん7177
B さん8080
C さん8983
平均値(点)8080
分散(点2566
標準偏差(点)7.352.45

英語と数学の平均値はどちらも 80 点で同じですが、英語の標準偏差は 7.35(単位:点)、数学の標準偏差は 2.45(点)となります(標準偏差の求め方の項目を参照)。

標準偏差を計算することで、一般によく用いる平均点だけでは分からないことが明らかになります。

上の例では、英語の標準偏差(7.35 点)の方が数学の標準偏差(2.45 点)より大きくなっています。これは、英語の点数の方が数学の点数より、得点の散らばりが大きいことを意味しています。

英語の得点を見ると、 A さんの 71 点や、C さんの 89 点は平均点(80 点)から 9 点ずつ離れています。一方、数学の点数を見ると A さんが 77 点、C さんが 83 点と、平均点(80 点)から 3 点ずつ離れています。得点を全体的にみて、平均点からの点の離れ具合は英語の方が大きいので、英語の標準偏差は数学の標準偏差よりも大きくなるのです。

なお、標準偏差は分散の正の平方根なので、標準偏差の大小は分散の大小に対応しています。

このデータの例は、きわめて単純に計算できるようにしていますが、もっとデータ数が増えて複雑になったときも同様に、標準偏差はデータの散らばり具合を意味します。


標準偏差の求め方

標準偏差を求めるには、分散(それぞれの数値と平均値の差の二乗平均)の正の平方根を計算します。

標準偏差 $s$ は次の式で求めることができます。

標準偏差 $s$ を求める公式

\begin{align*} s &= \sqrt{s^2} \\[5pt] &= \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{n=1}^n(x_i-\overline{x})^2} \end{align*}

ここで、
 $s^2$ は分散
 $n$ はデータの総数
 $x_i$ は個々の数値
 $\overline{x}$ は平均値
を表します。

この式をいきなり見せられても、意味が分からないと思います。そこで、標準偏差を次の 4 つのステップで求めることにします。

標準偏差の求め方

  1. 平均値を求める
  2. 偏差(数値 - 平均値)を求める
  3. 分散(偏差の二乗平均)を求める
  4. 分散の正の平方根を計算する

それでは、例題を解いて、具体的に標準偏差を求めてみましょう。

次に示す、英語の得点データの標準偏差を求めよ。

英語の得点データ
 点数
A さん71($=x_1$)
B さん80($=x_2$)
C さん89($=x_3$)

標準偏差の公式にいきなり代入するのではなく、平均値 → 偏差分散 → 標準偏差 の順番で一つずつ求めていきます。

まずは平均値 $\overline{x}$ を求めます。

\begin{align*} \overline{x} &= \frac{71+80+89}{3} \\[5pt] &= 80 \end{align*}

よって、平均値は 80(点)と求まりました。

2 番目のステップでは偏差を求めます。偏差とは、各数値と平均値との差です。詳しくは「偏差の意味と計算方法」をご覧ください。

例えば、A さんの偏差
(A さんの得点 $x_1$)-(平均値 $\overline{x}$)=$71-80 = -9$(点)と求まります。

同様に計算すると、B さんの偏差は $0$ 点、C さんの偏差は $9$ 点となります。

平均値と偏差を表に書き加えると、次のようになります。

英語の得点データと平均値、偏差
 点数偏差
A さん71($=x_1$)-9($=x_1-\overline{x}$)
B さん80($=x_2$)0($=x_2-\overline{x}$)
C さん89($=x_3$)9($=x_3-\overline{x}$)
平均値80($=\overline{x}$)

3 番目のステップでは、分散を求めます。分散とは、偏差の二乗平均です。詳しくは「分散の意味と計算方法」をご覧ください。

分散 $s^2$、すなわち三人の偏差 $-9$ 点、$0$ 点、$9$ 点 の二乗平均を計算すると次のようになります。

\begin{align*} s^2 &= \frac{(-9)^2+0^2+9^2}{3} \\[5pt] &= \frac{162}{3} \\[5pt] &= 54 \end{align*}

よって、分散は $54$(単位:点2)と求まりました。

ここまでの計算値を表に加えると次のようになります。

英語の得点データと平均値、偏差、偏差の二乗
 点数偏差偏差の二乗
A さん71-981
B さん8000
C さん89981
平均値8056

上の表右下の値 56(点2)が分散偏差の二乗平均)にあたります。

標準偏差 $s$ を求める最後のステップは、分散 $s^2$ の正の平方根を取ることです。

よって、英語の得点の標準偏差 $s$ は次のように求めることができます。

\begin{align*} s &= \sqrt{56} \\[5pt] &= 3\sqrt{6} \\[5pt] &\approx 7.45 \end{align*}

最後の行の記号 $\approx$ は $\fallingdotseq$ と同じ意味で、ほぼ等しいことを意味します。ここでは小数第 2 位までの概数にしました。

よって、英語の得点の標準偏差は 7.45 点 と求まりました。分散の単位は「点数の二乗(点2)」なので、その平方根を取った標準偏差の単位は「点数(点)」となります。これは元の得点データの単位に等しいですね。

標準偏差の求め方を理解していただけたでしょうか?平均値 → 偏差分散 → 標準偏差 というステップを一つずつ踏んでいけば、それほど難しくないですね。


もう一問、別の例題を解いてみましょう。

次に示す、数学の得点データの標準偏差を求めよ。

数学の得点データ
 点数
A さん77($=x_1$)
B さん80($=x_2$)
C さん83($=x_3$)

このデータの平均値は 80(点)です。3 人の偏差(得点 $x_i$ - 平均点 $\overline{x}$)および偏差の二乗の値、そしてその平均値である分散は、次の表に示した通りです。詳しい計算手順は「偏差の意味と求め方」と「分散の意味と求め方」の例題をご覧ください。

数学の得点データと平均値、偏差、偏差の二乗
 点数偏差偏差の二乗
A さん77-39
B さん8000
C さん8339
平均値806

上の表の右下の値 6(単位:点2)が分散 $s^2$(偏差の二乗平均)にあたります。

標準偏差を求めるには、この分散 6(点2)の正の平方根を計算します。よって

\begin{align*} s &= \sqrt{s^2} \\[5pt] &= \sqrt{6} \\[5pt] &\approx 2.45 \end{align*}

よって、数学の得点の標準偏差は 2.45 点と求まりました。

この 2 つの例題で求めた標準偏差の値の比較とその意味の説明は「標準偏差とは」の項目で行っています。