平行四辺形の面積の求め方 - 公式と計算例

平行四辺形の面積を求める公式は、次の通りです。

(平行四辺形の面積)=(底辺)×(高さ)

平行四辺形の底辺と高さ
平行四辺形の底辺と高さ

このページでは、この公式の導き方と、平行四辺形の面積を求める計算問題の解き方を説明しています。



もくじ

  1. 平行四辺形の面積を求める公式
    1. 公式の導き方
  2. 平行四辺形の面積を求める計算問題
    1. 底辺と高さから面積を求める問題
    2. 底辺と高さを選んで面積を求める問題

平行四辺形の面積を求める公式

前述の通り、平行四辺形の面積を求める公式は、次の通りです。

(平行四辺形の面積)=(底辺)×(高さ)

「底辺」には、どの辺を選んでも大丈夫ですが、必ず対応する高さが見つかる辺を底辺として選びます。

対応する辺と高さの組
対応する辺と高さの組

公式の導き方

平行四辺形の面積を求める公式は、平行四辺形の一部を移動させて長方形にし、この長方形の面積を求めることで導き出せます。

下の図のように、平行四辺形の一部を三角形に切り取って、移動させてみましょう。

同じ形の(合同な)2つの台形
同じ形の(合同な)2つの台形

すると、長方形になりました!(図の赤線)

長方形の面積は、(たて)×(よこ)で求めることが出来ますね。この長方形の(たて)は高さに等しく、(よこ)は底辺の長さ等しいことが分かります。

よって、長方形の面積は

(長方形の面積)=(底辺)×(高さ)

で求めることが出来ます。

最後に、この長方形の面積と、元の平行四辺形の面積は等しいので、平行四辺形の面積も(底辺)×(高さ)で求められることが分かります。


…と、説明したものの、下のような平行四辺形だと、先ほどのように三角形をいい感じに切り取ることができませんね。どうしたらいいでしょうか?

適切な三角形を切り取れない
適切な三角形を切り取れない

こんなときは、いくつかの平行四辺形をくっつけてみてはどうでしょうか?とりあえず、3倍の大きさの平行四辺形を作って、最後にその面積を3分の1にする、という具合です。

平行四辺形を3つつなげてから、三角形部分を移動する
平行四辺形を3つつなげてから、三角形部分を移動する

3倍の大きさの平行四辺形(図の赤線)の面積は、(元の平行四辺形の底辺の3倍)×(高さ)で求められます。この大きな平行四辺形の面積を3分の1にすると、結局

(長方形の面積)=(底辺)×(高さ)

となって、先ほどと同じ公式が得られます。


もしくは、対角線で三角形に区切って、その面積を求めるという方法もありますね。


続いては、この公式を使って計算問題を解いてみましょう!

平行四辺形の面積を求める計算問題

底辺と高さから面積を求める問題

下の図に示した台形の面積を求めよ。

底辺 6cm、高さ 5cm の平行四辺形

平行四辺形の面積を求める公式に代入して、計算するだけですね。

\begin{align*} \text{平行四辺形の面積} &= \text{底辺}\times \text{高さ} \\[5pt] &= 6 \times 5 \\[5pt] &= 30 \,\textrm{[cm}^2 \textrm{]}\end{align*}

となります。

底辺と高さを選んで面積を求める問題

下の図に示した台形の面積を求めよ。

底辺の長さが 5 cm、それに対する高さが 12 cm、もう一つの底辺の長さが 13cm の平行四辺形

この問題では、2種類の辺の長さが与えられていますが、面積を求めるには、対応する高さが存在する辺を選ぶ必要があります。

今回、13 cm の辺に対する高さは分かりませんが、5 cm の辺に対する高さは 12 cm とわかります。よって、この底辺と高さのペアを使って、面積を求めます。

\begin{align*} \text{平行四辺形の面積} &= \text{底辺}\times \text{高さ} \\[5pt] &= 5 \times 12 \\[5pt] &= 60 \,\textrm{[cm}^2 \textrm{]}\end{align*}

となります。

公式の意味をきちんと理解して、図形から必要な長さを選べれば、計算自体は難しくないですね。

他の平面図形の面積の求め方は、次のページでご覧になれます。