平行四辺形の面積の求め方 - 公式と計算例

公式の導き方

平行四辺形の面積は、なぜこの公式で求めることができるのでしょうか。その理由を、図を使って理解していきましょう。

平行四辺形の面積を求める公式は、平行四辺形の一部を移動させて長方形にし、この長方形の面積を求めることで導き出せます。

下の図のように、平行四辺形の一部を三角形に切り取って、移動させてみましょう。

すると、長方形になりました！（図の赤線）

長方形の面積は、（たて）×（よこ）で求めることが出来ますね。この長方形の（たて）は高さに等しく、（よこ）は底辺の長さ等しいことが分かります。

よって、長方形の面積は

で求めることが出来ます。

最後に、この長方形の面積と、元の平行四辺形の面積は等しいので、平行四辺形の面積も（底辺）×（高さ）で求められることが分かります。

…と、説明したものの、下のような平行四辺形だと、先ほどのように三角形をいい感じに切り取ることができませんね。どうしたらいいでしょうか？

こんなときは、いくつかの平行四辺形をくっつけてみてはどうでしょうか？とりあえず、3倍の大きさの平行四辺形を作って、最後にその面積を3分の1にする、という具合です。

3倍の大きさの平行四辺形（図の赤線）の面積は、（元の平行四辺形の底辺の3倍）×（高さ）で求められます。この大きな平行四辺形の面積を3分の1にすると、結局

となって、先ほどと同じ公式が得られます。

もしくは、対角線で三角形に区切って、その面積を求めるという方法もありますね。

続いては、この公式を使って計算問題を解いてみましょう！

底辺と高さから面積を求める問題

下の図に示した台形の面積を求めよ。

平行四辺形の面積を求める公式に代入して、計算するだけですね。

\begin{align*} \text{平行四辺形の面積} &= \text{底辺}\times \text{高さ} \\[5pt] &= 6 \times 5 \\[5pt] &= 30 \,\textrm{[cm}^2 \textrm{]}\end{align*}

となります。

底辺と高さを選んで面積を求める問題

下の図に示した台形の面積を求めよ。

この問題では、2種類の辺の長さが与えられていますが、面積を求めるには、対応する高さが存在する辺を選ぶ必要があります。

今回、13 cm の辺に対する高さは分かりませんが、5 cm の辺に対する高さは 12 cm とわかります。よって、この底辺と高さのペアを使って、面積を求めます。

\begin{align*} \text{平行四辺形の面積} &= \text{底辺}\times \text{高さ} \\[5pt] &= 5 \times 12 \\[5pt] &= 60 \,\textrm{[cm}^2 \textrm{]}\end{align*}

となります。

公式の意味をきちんと理解して、図形から必要な長さを選べれば、計算自体は難しくないですね。