面積の求め方 - 計算公式一覧

面積とは、線で囲まれた平面や曲面の広さのことです。

このページでは、様々な平面図形の面積の求め方を一覧にまとめています。図形と面積の公式をセットで覚えましょう!

それぞれの公式の導き方や、面積計算の問題の解き方は、リンク先のページで見られます。詳しく知りたい方は、ご覧ください。



もくじ

  1. 三角形の面積
    1. 底辺と高さが分かっている三角形
    2. 正三角形
    3. 三平方の定理の利用
    4. 3辺の長さが分かっている三角形
    5. 2辺とその間の角が分かっている三角形
    6. 内接円の半径が分かっている三角形
    7. 外接円の半径が分かっている三角形
  2. 四角形の面積
    1. 正方形
    2. 長方形
    3. 平行四辺形
    4. 台形
    5. ひし形
  3. 円とその仲間の面積
    1. 扇形
    2. 円環
    3. 楕円

三角形の面積

三角形の面積の求め方の基本は「底辺 × 高さ ÷ 2」ですが、高さが分からないときに他の情報から面積を求める公式がいくつもあります。

ここでは、三辺の長さが分かっている場合や、角度、内接円や外接円の半径が分かっている場合の面積の求め方をご紹介しています。

底辺と高さが分かっている三角形

底辺 a、高さ h の三角形
底辺 a、高さ h の三角形

底辺 $a$、高さ $h$ の三角形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

三角形の面積(基本)
\begin{align*} S = \frac{1}{2} ah \end{align*}
面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2

正三角形

一辺の長さ a の三角形
一辺の長さ a の三角形

一辺の長さ $a$ の三角形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

正三角形の面積
\begin{align*} S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \end{align*}
面積 = 一辺 × 一辺 × 1.41 ÷ 4

三平方の定理の利用

一辺の長さ a、斜辺の長さ c の三角形
一辺の長さ a、斜辺の長さ c の三角形

底辺とそれに対する高さが分からない三角形の場合、直角三角形を作り、三平方の定理から高さを得られることが多いです。

一辺の長さ $a$、斜辺の長さ $c$ の直角三角形の、残り一辺の長さ $b$ は、三平方の定理で求められます。

三平方の定理
\begin{align*} b = \sqrt{c^2 -a^2} \end{align*}

3辺の長さが分かっている三角形

三辺の長さが a、b、c の三角形
三辺の長さが a、b、c の三角形

三辺の長さ $a,b,c$ の三角形の面積 $S$ は、次のヘロンの公式で求められます。

三角形の面積(ヘロンの公式)
\begin{align*} S &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\[5pt] \text{ただし} \\[5pt] s &= \frac{a+b+c}{2} \end{align*}

公式の導出方法と計算例は「ヘロンの公式」をご覧ください。

2辺とその間の角が分かっている三角形

二辺の長さ a、b、その間の角 θ の三角形
二辺の長さ a、b、その間の角 θ の三角形"

二辺の長さ $a,b$ 、その間の各 $\theta$ の三角形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

三角形の面積(三角関数)
\begin{align*} S = \frac{1}{2} ab \sin \theta \end{align*}

内接円の半径が分かっている三角形

三辺の長さが a、b、c、内接円の半径 r の三角形
三辺の長さが a、b、c、内接円の半径 r の三角形

三辺の長さ $a,b,c$、内接円の半径 $r$ の三角形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

三角形の面積(内接円の半径を利用)
\begin{align*} S = \frac{1}{2} r(a+b+c) \end{align*}

外接円の半径が分かっている三角形

三辺の長さが a、b、c、外接円の半径 R の三角形
三辺の長さが a、b、c、外接円の半径 R の三角形

三辺の長さ $a,b,c$、内接円の半径 $R$ の三角形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

三角形の面積(外接円の半径を利用)
\begin{align*} S = \frac{abc}{4R} \end{align*}

四角形の面積

四角形の面積を求める公式は、どれも三角形の面積を求める公式から得ることが出来ます。四角形に対角線を引くと、三角形に分けられますよね?

正方形

一辺の長さ a の正方形
一辺の長さ a の正方形

一辺の長さ $a$ の正方形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

正方形の面積
\begin{align*} S = a^2 \end{align*}
面積 = 一辺 × 一辺

長方形

縦 a、横 b の長方形
縦 a、横 b の長方形

縦の長さ $a$、横の長さ $b$ の長方形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

長方形の面積
\begin{align*} S = ab \end{align*}
面積 = たて × 横

平行四辺形

底辺 a、高さ h の平行四辺形
底辺 a、高さ h の平行四辺形

底辺の長さ $a$、高さ $h$ の平行四辺形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

平行四辺形の面積
\begin{align*} S = ah \end{align*}
面積 = 底辺 × 高さ

公式の導出方法と計算例は「平行四辺形の面積の求め方」をご覧ください。

台形

上底 a、下底 b、高さ h の台形
上底 a、下底 b、高さ h の台形

上底 $a$、下底 $b$、高さ $h$ の台形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

台形の面積
\begin{align*} S = \frac{1}{2}(a+b)h \end{align*}
面積 = (上底 + 下底) × 高さ ÷ 2

公式の導出方法と計算例は「台形の面積の求め方」をご覧ください。

ひし形

2つの対角線の長さが a、b のひし形
2つの対角線の長さが a、b のひし形

2つの対角線の長さが $a$、$b$ のひし形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

ひし形の面積
\begin{align*} S = \frac{1}{2} ab \end{align*}
面積 = たての対角線 × 横の対角線 ÷ 2

公式の導出方法と計算例は「ひし形の面積の求め方」をご覧ください。

円とその仲間の面積

円の面積を求める公式は小学校で習いますが、なぜその公式になるのか?という疑問は、高校2年生で微分を学習するまで分かりません!下のリンクでは、図形的に公式を理解してもらう方法を紹介しています。

扇形の面積も重要ですね。

半径 r の円
半径 r の円

半径 $r$ の円の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

円の面積
\begin{align*} S = \pi r^2 \end{align*}
面積 = 半径 × 半径 × 3.14

公式の導出方法と計算例は「円の面積の求め方」をご覧ください。

扇形

半径 r、中心角 x° の扇形
半径 r、中心角 x° の扇形

半径 $r$、中心角 $x^\circ$ の扇形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

扇形の面積
\begin{align*} S = \pi r^2 \times \frac{x}{360} \end{align*}
面積 = 半径 × 半径 × 3.14 × 中心角 ÷ 360°

公式の導出方法と計算例は「扇形の面積の求め方」をご覧ください。


なお、中心角をラジアン単位で θ と表すと、面積は次の式で求まります。

扇形の面積(ラジアン単位)
\begin{align*} S &= \frac{1}{2} r^2 \theta \\[5pt] &= \frac{1}{2} rl \end{align*}

ここで $l$ は弧の長さです。

円環

大きい半径 R、小さい半径 r の円環
大きい半径 R、小さい半径 r の円環

大きい半径 $R$、小さい半径 $r$ の円環の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

円環の面積
\begin{align*} S = \pi (R^2 -r^2) \end{align*}

楕円

楕円
楕円

楕円の式

\[ \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1 \quad(a,b \gt 0) \]

で表される楕円の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

正三角形の面積
\begin{align*} S = \pi ab \end{align*}