球の表面積の求め方 - 公式と計算例

球の表面積を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} S = 4 \pi r^2 \end{align*}

ここで、S は球の表面積、π は円周率、r は球の半径を表します。

球の表面積を求めるには、この公式に球の半径 r を代入すればよいだけです。このページの続きでは、例題を使って、この公式の使い方を説明しています。



もくじ

  1. 球の表面積を求める公式
  2. 球の表面積を求める計算問題
    1. 半径から球の表面積を求める問題
    2. 2種類の球の表面積比を求める問題

球の表面積を求める公式

前述の通り、球体の表面積 V を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} V = 4 \pi r^2 \end{align*}

この式に出てくる文字の意味は、次の通りです。

S
球の表面積(Surface)
π
円周率(= 3.14…)
r
球の半径(radius)

どのようにして、この公式が得られるのか?というのが疑問だと思いますが、その答えは高校2年生で「微分・積分」の勉強をすることで得られます。

ここでは「微分」のイメージをざっくりと説明します。

と、その前にまず、球の体積を求める公式が $ \frac{4}{3} \pi r^3 $ であることを確認しておきましょう。この公式は「積分」によって求まるのですが、今のところ受け入れてください…。この式を r で微分すると、球の表面積が得られるのです!

さてさて、それでは、半径 $ r $ の球と、それよりも半径がちょっと(このちょっとを $ \stackrel{\text{デルタ アール} }{\Delta r} $ で表すことにします)大きくなった半径 $ r + \Delta r $ の球の体積の差を考えます。

大小2つの球の間の空間「球殻」
大小2つの球の間の空間「球殻」

中心を同じ位置に合わせたこの大小2つの球の間の空間は、薄い「殻(球殻)」の形になっていることが分かるかと思います。

この状態で、2つの球の半径の差 $ \Delta r $ を限りなく 0 に近づけると、2つの球の表面積の差はほとんどなくなりますね。このとき、球殻の体積は、(半径 $ r $ の球の表面積 S)× $ \Delta r $ で求められるのです‼(← ここがポイント!)

したがって、 $ \Delta r $ を限りなく 0 に近づけたとき(これを $ \Delta r \to 0 $ と表します)、球殻の体積について

\begin{align*} S \Delta r &= \text{(大きな球の体積)} - \text{(小さな球の体積)}\\ &= \frac{4}{3} \pi (r+\Delta r)^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 \end{align*}

が成立します。あとは中学生でもできる(できそうな)計算をすることで、球の表面積 4πr2を導き出せるのです。

以上が図形における微分の概念です。なんとなく、分かっていただけたでしょうか…?

詳しくは後日、別記事にて解説する予定ですので、少々お待ちください。



続いては、球の表面積を求める計算問題を、例題を使って解説しています。

球の表面積を求める計算問題

半径から球の表面積を求める問題

半径 3 の球の表面積 S を求めよ。

球の表面積の公式に代入すればいいだけですね。

\begin{align*} S &= 4 \pi r^2 \\[5pt] &= 4 \pi \times 3^2 \\[5pt] &= 36 \pi \\ \end{align*}

2種類の球の表面積比を求める問題

球1 の半径は 球2 の半径の2倍である。球2 の表面積は 球1 の表面積の何倍か?

球1 の半径を $ r_1 $、表面積を $ S_1 $、球2 の半径を $ r_2 $、表面積を $ S_2 $ とします。

それぞれの球の表面積は公式より

\begin{align*} S_1 &= 4 \pi r_1^2 \\[5pt] S_2 &= 4 \pi r_2^2 \\[5pt] \end{align*}

したがって、球1 の表面積に対する 球2 の表面積の比 $ \frac{S_2}{S_1} $ は

\begin{align*} \frac{S_2}{S_1} &= \frac{4 \pi r_2^2}{4 \pi r_1^2} \\[5pt] &= \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \\[5pt] \end{align*}

問題文より、$ \frac{r_2}{r_1} = 2 $ であるから

\begin{align*} \frac{S_2}{S_1} &= 2^2 \\[5pt] &= 4 \,\text{[倍]} \\ \end{align*}

となります。


別の解き方として、「相似な立体の表面積比は相似比の2乗比」であることを使うと、次のように簡単に求まります。

\begin{align*} S_1 : S_2 &= 1^2 : 2^2 \\ &= 1 : 4 \end{align*}

他の立体図形の表面積の求め方は、次のページでご覧になれます。