円柱の体積の求め方 - 公式と計算例

円柱の体積を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} V &= Sh \\[5pt] &= \pi r^2 h \end{align*}

ここで、V は円柱の体積、S は底面積、h は高さを表します。

また、2行目における π は円周率、r は底面の円の半径です。

円柱の体積を求めるには、この公式に底面の半径 r と高さ h を代入すればよいだけです。このページの続きでは、例題を使って、この公式の使い方を説明しています。また、斜円柱の体積についても説明しています。



もくじ

  1. 円柱の体積を求める公式
    1. 斜円柱の体積の求め方
  2. 円柱の体積を求める計算問題
    1. 底面の半径と高さから体積を求める問題
    2. 表面積と絡めて体積を求める問題

円柱の体積を求める公式

前述の通り、円柱の体積 V を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} V &= Sh \end{align*}

底面の円の面積 S について、

\[ S = \pi r^2 \]

なので、これを上式に代入すると

\begin{align*} V &=\pi r^2 h \end{align*}

の形にもできます。

この式に出てくる文字の意味は、次の通りです。

V
円柱の体積(Volume)
S
底面の面積(Surface area)
h
高さ(height)
π
円周率(= 3.14…)
r
底面の円の半径(radius)

斜円柱の体積の求め方

ここからは、補足的に直円柱と斜円柱について述べます。

小・中レベルで学習する円柱は「直円柱」と呼ばれるもので、底面を、面の垂直方向にのみ動かしてできる円柱です。

ただし円柱には「斜円柱」と呼ばれるものもあり、これは、下図右側のような形をした立体です。

直円柱と斜円柱
直円柱と斜円柱

立方体や直方体、そして円柱のような立体の体積はすべて、(底面の面積)×(底面を面と垂直方向に平行移動させた距離)を計算することで求まります。

したがって、上図のような斜円柱の体積の求め方も直円柱同様に、 $ V=Sh $ で求めることが出来ます。ここで、高さ h は2つの底面間の距離であることに注意してください。


続いては、この公式を使って円柱の体積を求める方法を、例題を使って説明します。

円柱の体積を求める計算問題

底面の半径と高さから体積を求める問題

底面の半径 2、高さ 3 の円柱の体積 V を求めよ。

円柱の体積の公式に代入すればいいだけですね。

\begin{align*} V &= \pi r^2 h \\[5pt] &= \pi \times 2^2 \times 3 \\[5pt] &= 12 \pi \\ \end{align*}

表面積と絡めて体積を求める問題

※次の問題を解くには、中学3年で学習する2次方程式を解ける必要があります。

底面積が 4π、側面積が 20 π の(直)円柱の体積を求めよ。

底面積は分かっていますが、高さが分からないので、まずこれを求める必要があります。

円柱の側面積は、$ 2 \pi rh $ で求められます。この式中の高さ h を求めたいのですが、そのためには底面の半径 r を求めておく必要があることが分かります。

底面積について、

\begin{align*} \pi r^2 &= 4 \pi \\ \therefore r &= 2 \qquad (\because r \gt 0) \end{align*}

より r の値が求まりました。側面積の公式に代入して

\begin{align*} 2 \pi \times 2 \times h &= 20 \pi \\ \therefore h &= 5 \end{align*}

よって高さ h = 5 と求まりました。最後に、円柱の体積を求める公式に底面積 S と 高さ h を代入して、

\begin{align*} V &= Sh \\ &= 4\pi \times 5 \\ &= 20 \pi \end{align*}

となります。

他の立体図形の体積の求め方は、次のページでご覧になれます。