2進数の変換方法

2進数から10進数への変換

2進数を10進数に変換するには、2進数の各位の数字にその位の「重み」を掛けて、すべての桁について足し合わせます。

ここで「重み」という言葉が出てきました。2進数のn桁目の重みは、2^n-1です。例えば、2進法の4桁目の重みは2³（=8）となります。

それでは、2進数「11010」を10進数に変換してみましょう。下の表に、各位の数字とその位の重みを示しました。

あとは、各位の数とその位の重みを掛けて、すべての桁について足し合わせます。この例の場合、

\begin{align*} &\hphantom{=} \underbrace{1\times 2^4}_{5桁目}+\underbrace{1\times 2^3}_{4桁目}+\underbrace{0\times 2^2}_{3桁目}+\underbrace{1\times 1^1}_{2桁目}+\underbrace{0\times 2^0}_{1桁目} \\[5pt] &= 26 \end{align*}

となるので、2進数(11010)₂を10進数に変換すると、26になります。

10進数から2進数への変換

10進数を2進数に変換するには、変換する10進数を2で繰り返し割っていき、その余り（0か1になる）を下位から上位へ順に並べていきます。

例として、10進数(26)₁₀を2進数に変換する方法を見てみましょう。まず、26を2で割ります。この商は13、余りは0ですね。これを次のように書くこととします。

これは

\[ 26 = 2\times 13+0 \]

を意味します。

さらに、ここで得られた商13を2で割ると、次のようになります。

これは

\[ 13=2\times 6+1 \]

を表します。

この操作を商が1または0になるまで（2で割り切れなくなるまで）繰り返し続けていきます。すると、次のようになります。

最後の商、続けて、得られた余り（上図にオレンジ色で示した数）を最後のものから順に並べていくと、「11010」となります。これが、10進数26を2進数に変換した値です。

この筆算によって2進数に変換できる原理は、次の式を見ると分かります。最終的に、2進数の各位の「重み」に1または0を掛ける形に変換できます。

\begin{align*} 26 &= 2\times13+0 \\[5pt] &=2(2\times6+1)+0 \\[5pt] &=2(2(2\times3+0)+1)+0 \\[5pt] &=2(2(2(2\times 1+1)+0)+1)+0 \\[5pt] &=1\times 2^4+1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0 \\[5pt] &=(11010)_2 \end{align*}

となります。これが変換の原理です。

例題

10進数(109)₁₀を2進数に変換せよ。

上で説明したのと同様の手順で、筆算を行います。

したがって、10進数(109)₁₀を2進数に変換すると、(1101101)₂となります。

10進数と2進数の対応表

最後に、10進数で表された0から31までの整数を、2進数に変換した対応表を示します。