微分とは何か？ － 中学生でも分かる微分のイメージ

微分とは

いきなりですが、問題です。下のグラフは y=x² のグラフを x=0.5 付近で拡大したものです。

x=0.5 付近のグラフについて、

1. オレンジ色の線はどんな図形に見えますか？
2. その傾きはいくつですか？

みなさんの答えはどうでしょうか？

1. オレンジ色の線は（ほぼ）直線に見える。
2. 傾きは（ほぼ） 1 である（x が1目盛り増加すると、yがほぼ1目盛り増加している）。

ということでよろしいでしょうか？

さて、これで皆さんはもう、 y=x² を x=0.5 にて微分してしまいました。その値は1なのです。

このように、ある（滑らかな）関数を拡大して見たとき、その関数はほぼ直線に見え、一定の傾きを得ることができます。そして、この傾きを求める操作を、ズバリ「微分」というのです。

微分とは何か…？ここではまだ、正確な説明にはなっていませんが、なんとなくイメージを持っていただけたでしょうか？それほど難しいお話しではないですね。

続いては、微分の概念をさらに深めるために、グラフを x=0.5 以外の点でも拡大して傾きを調べ、x の値とその時の傾きの関係を調べてみましょう。

微分はグラフの拡大と同じ

微分の説明の前に、傾き＝変化の割合 の復習をしておきましょう。これは中学1年生で学習していますね。

変化の割合とは、 \[ \text{変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \] のことでした。

中学1年生で学習した比例のグラフ y=2x の傾き（=変化の割合）はいくつでしょうか。

このグラフは、x が1目盛り増加すると、y は2目盛り増加しています。つまり、このグラフの傾き（＝変化の割合）は2ですね。そして、これは x の場所によらず、常に一定です（つまり y=2x を微分すると、2 ということになります…）。

続いて、中学3年で学習する、y=x²のグラフを見てみましょう。

例として、関数 y=x² にて、x が 2 から 3 まで増加するときの変化の割合を求めてみましょう。

\begin{align*} \text{変化の割合} &= \frac{3^2-2^2}{3-2} \\[6pt] &= 5 \end{align*} となりますね。

y=x² のグラフに関しては、変化の割合は常に一定ではなく、グラフ上に取る2点の場所によって異なります。

しかし、常に変化の割合（= 傾き）が一定ではない曲線も、ある点でひたすら拡大すると、直線に見えるようになります。

下に、y=x² のグラフを用意しました。線が非常に細く、目盛りも細かいのですが、このグラフは拡大しても画質が落ちないようになっています。これから一緒に、このグラフを拡大して見ていきましょう！

まずは、y=x² 上の x=0.5 の点を拡大してみてみましょう！先ほど拡大図をお見せして確認した通り、その点でのグラフの様子と、傾きを再度調べてください。

ところで拡大の方法ですが、スマホでご覧になっている方は、2本指で画面をピンチアウトすることで拡大できます。PC でご覧の方は、グラフをクリックすると、グラフのPDFファイルが開きますので、 を押して拡大してみてください。

さて、そうすると、次のように見えると思います。

先ほど、「微分とは」の項目でも説明しましたが、再度、次の2点について一緒に確認しましょう。

• 曲線である y=x² のグラフを部分的に拡大すると、それは直線に見える。
• x=0.5 付近での y=x² の傾きはだいたい 1 くらいである。

まず、1点目の「曲線のグラフを拡大すると、直線に見える」ことから。上のグラフを見てみると、オレンジ色の線はやや曲がってはいるものの、直線に近いことが分かると思います。では、もっと拡大してみましょう。下のグラフの1目盛りは、上のグラフと同じです。

パッと見では、直線にしか見えませんね。グリッドをよく見ると曲がっているのが分かる程度です。

続いて2点目「x=0.5 付近での y=x² の傾きはだいたい 1 くらいである」ことを確認します。これは、上のグラフを見ると、オレンジの線は x が1目盛り増加すると、y が1目盛り増加しています。すなわち、x=0.5 付近での y=x² の傾き（＝変化の割合）は、$ \frac{1}{1} = 1 $ ということになります。

ここまで理解できましたら、続いては、y=x² のグラフを他の点の付近でも拡大してみましょう。拡大したら直線に見えることを確認し、その直線の傾きを求めていきます。

x=1, 1.5, 2 の点付近で、それぞれ拡大します。

x=1 付近で拡大

やはり直線に近いですね。そして、x=1 付近における傾きは、x が1目盛り増加すると、y は2目盛り増加していることが分かるので、$ \frac{2}{1} = 2 $ ということになります。

x=1.5 付近で拡大

これも直線に近いですね。x=1.5 付近における傾きは、x が1目盛り増加すると、y は3目盛り増加していることが分かるので、$ \frac{3}{1} = 3 $ ということになります。

x=2 付近で拡大

これも直線に近く、x=2 付近における傾きは、x が1目盛り増加すると、y は4目盛り増加していることとから、$ \frac{4}{1} = 4 $ ということになります。

さて、これまでの関係をまとめます。

なんと綺麗な！

これまでの結果より、y=x² 上のある点における傾きは、その点の x 座標の2倍という関係が得られました。たかが4つの点からの推測に過ぎませんが、これが本当に成り立つとすれば、非常に興味深い関係ですね。

実は！この関係は、すべての点に成り立つことが、この後の証明で分かります。つまり、y=x² の各点における傾きは、各点の x 座標に対して 2x と表すことが出来ます。これが、x=0 のときでも、x が負のときでも成り立つのです。

このように、ある関数（今の場合は、y=x²）の任意の点における傾きを導く式を導関数といい、この導関数を求めることを、一般に微分というのです。

さて、これまでの話はグラフの見た目に頼った話で、「ほぼ直線」とか「傾きがほぼ１」というように「ほぼ」という言葉が微妙で、数学らしくなかったですね。続いては、数式を使って微分の説明をします。中学生でも分かるように、丁寧に解説していきますので、ぜひ続けて読んでくださいね。

y=x² の x=1 における微分

ここまでのお話しで、微分の概念については理解していただけたと思います。

これまでの話は、グラフの「見た目」に頼った感覚的な理解だったので、ここからは、式を使った、数学的な理解をしてみましょう。

y=x² の x=1 における傾きが 2 である、というお話しをしましたが、果たして本当にそういえるのか？を確認してみます。

まずは x=1 の点と、その近くの点の2点間の変化の割合を、具体的に求めてみます。

たとえば、y=x² において x=1.0 から x=1.1 まで増加するときの変化の割合は \begin{align*} \text{変化の割合} &= \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \\[6pt] &= \frac{1.1^2 - 1.0^2}{1.1 - 1.0} \\[6pt] &= \frac{0.21}{0.1} \\[6pt] &= 2.1 \end{align*} となります。つまり、y=x² 上の x=1.0 の点と x=1.1 の点の2点を通る直線の傾きは、2.1 だということになります。

さて、続けて、x=1 にもっと近い点を取って、変化の割合を求めてみましょう。今求めたいのは、x=1 付近を限りなく拡大した時の傾きですから、それは x=1 により近い2点間の変化の割合を求めることに対応します。

y=x² において x=1.00 から、x=1.01 まで増加するときの変化の割合を計算します。 \begin{align*} \text{変化の割合} &= \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \\[6pt] &= \frac{1.01^2 - 1.0^2}{1.01 - 1.0} \\[6pt] &= \frac{0.0201}{0.01} \\[6pt] &= 2.01 \end{align*} となります。つまり、y=x² 上の x=1.00 の点と x=1.01 の点の2点を通る直線の傾きは、2.01 だということになります。先ほどの 2.1 という結果よりも、2 に近づきましたね。

このように、x=1 における傾きを求めるには、y=x² 上の x=1 の点の他に、もう1点別の点を取り、この2点間の変化の割合を求めるという方法を使います。

今は、2点間の距離（これを h としましょう）が、h = 1.1 - 1.0 = 0.1 のときと、h = 1.01 - 1.00 = 0.01 のときの2種類を実際に代入してみました。この h を小さくすると、予想していた値 2 により近づきましたね。では、もっともっと2点間の距離 h を小さくしたら、どのようになるでしょうか。予想通り、2 といえるのでしょうか。文字式を使って計算してみましょう。

これまでと同様の手順で、x=1 の点と、そこから x の距離が h 離れた x=1+h の点、この2点間の変化の割合を求めましょう。

\begin{align*} \text{変化の割合} &= \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \\[6pt] &= \frac{(1+h)^2 - 1^2}{(1+h) - 1} \\[6pt] &= \frac{(1+2h+h^2)-1}{(1+h)-1} \\[6pt] &= \frac{2h+h^2}{h} \\[6pt] &= 2+h \end{align*}

という関係式が得られました。この式を使うと、先ほど求めた、x=1 と x=1.1 のときの変化の割合は、h = 1.1 - 1 = 0.1 より、2 + h = 2.1 と、簡単に求めることが出来ます。x=1 と x=1.01 の2点間での変化の割合も同様にして、求められます。

さて、では2点間の距離 h を限りなく 0 に近づけていったとき、その変化の割合はどうなるでしょうか？それは、先ほどの 2 + h にて h を 0 にしたときの値、つまり 2 ですね。したがって、y=x² の x=1 における傾きは、2 であることが証明できました。

y=x² の微分

上では、関数 y=x² の x=1 の点での傾きを計算で求め、証明しました。今度は、x=1 以外のすべての点における傾きを、計算によって求めてみましょう。先に、グラフを「見て」予想した結果からは、 y=x² 上の各 x の点における傾きは、2x となるはずです。

x=1 の点における傾きを計算で求めたように、今度は一般の x の点における傾きを求めます。この点から h だけ離れた点との、2点間における変化の割合は、

\begin{align*} \text{変化の割合} &= \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \\[6pt] &= \frac{(x+h)^2 - x^2}{(x+h) - x} \\[6pt] &= \frac{(x^2+2hx+h^2)-x^2}{(x+h)-x} \\[6pt] &= \frac{2hx+h^2}{h} \\[6pt] &= 2x+h \end{align*}

となります。x=1 を代入すると、先ほどの 2+h という式と同じになりますね。

2点間の x 座標の距離 h を限りなく 0 にすると、この式は 2x となります。したがって、関数 y=x² の各 x に対して、その点における傾きは 2x となります。これで、このページの最初に、グラフを拡大して予想した結果と、計算結果が一致したことを確認できました。

すなわち、関数 y=x² を微分した値は、2x ということを証明できました。

※本当はもうちょっとだけ正確な議論が必要なのですが、それは高校生になってから確認するとしましょう。

微分を表現する記号

最後に、微分を記述するための記号を紹介します。これは高校で学習してから使えればいいのですが、Wikipedia などに掲載されている理系の記事を見ているとよく登場する記号なので、ちょっと知っておくといいかもしれません。

まず、関数 $ y=x^2 $ を微分して得られた導関数を $y'=2x$ と書きます。ここで、$y'$ は「yダッシュ」や「yプライム」と読みます。このプライム記号が、微分した導関数であることを示します。また、別の書き方では、 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}x^2 = 2x \] のようにも書きます。関数の前に、\[ \frac{d}{dx} \]という記号を付けることで、その関数を x で微分するということを示します。

$d$ というのは何か…というと、差分を表す Δ（デルタ、delta）の d ではないかと思います。もしくは、微分の英語読み differential の d かもしれません。

また、y=x² を微分する過程で、x の変化量 h を限りなく 0 に近づけるという表現をしました。これは、極限の記号 $\lim$ の下に $h \to 0$ と書くことで表します。つまり、次のように書き表します。

\begin{align*} & \quad \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{(x+h) - x} \\[6pt] &= \lim_{h \to 0} (2x+h) \\[6pt] &= 2x \end{align*} または \begin{align*} & \quad \frac{(x+h)^2 - x^2}{(x+h) - x} \\[6pt] &= 2x+h \\[6pt] &\xrightarrow[h \to 0]{}2x \end{align*}

$\lim$ は「リミット」とよみ、極限（limit）を取る記号です。