中央値（メジアン）の意味と求め方
もくじ
中央値（メジアン）とは
中央値（メジアン）とは、データを大きさの順に並べたとき、全体の中央に位置する値のことです。データ数が偶数個の場合は、中央に位置する 2 つの数の平均値を取ります。
例として、次のデータの中央値を求めてみましょう。これは、生徒数 11 人のあるクラス（A クラスとします）で行った英語の試験の得点分布です。
| A クラス （xi） |
|---|
| 49（=x(1)） |
| 55（=x(2)） |
| 56（=x(3)） |
| 62（=x(4)） |
| 65（=x(5)） |
| 76（=x(6)） |
| 78（=x(7)） |
| 80（=x(8)） |
| 84（=x(9)） |
| 90（=x(10)） |
| 97（=x(11)） |
この得点データは小さい順に並んでいて、その中央に位置する値は上から 6 番目の数値 x(6)=76（点）です。この数値の前には 5 個のデータが、後にも 5 個のデータがあることから、ちょうど真ん中にあることを確認できますね。よって、このデータの中央値は 76 点と求まりました。
さて、中央値にはどのような意味があるのかを考えてみましょう。統計でよく用いられる代表値には「平均値」がありますが、これと中央値にはどのような違いがあるのかを説明します。
例として、次のデータを考えます。A クラスと B クラスの英語の得点データを小さい順に並べました。A クラスの得点データは上に挙げた例と同じです。
| A クラス （x(i)） | B クラス （y(i)） | |
|---|---|---|
| 49（=x(1)） | 2（=y(1)） | |
| 55（=x(2)） | 4（=y(2)） | |
| 56（=x(3)） | 55（=y(3)） | |
| 62（=x(4)） | 62（=y(4)） | |
| 65（=x(5)） | 65（=y(5)） | |
| 76（=x(6)） | 76（=y(6)） | |
| 78（=x(7)） | 78（=y(7)） | |
| 80（=x(8)） | 80（=y(8)） | |
| 84（=x(9)） | 84（=y(9)） | |
| 90（=x(10)） | 90（=y(10)） | |
| 97（=x(11)） | 97（=y(11)） | |
| 平均値 | 72（=¯x） | 63（=¯y） |
| 中央値 | 76 | 76 |
このデータは、説明がしやすいように、先頭の 2 つの得点以外は左右で同じ点数にしています。
それぞれのクラスの平均点を計算すると、A クラスの得点の平均値（¯x）が 72 点、B クラスの得点の平均値（¯y）が 63 点と求まります。
平均点は B クラスの方が平均点がだいぶ低いですね… では、この平均点の差を理由に「B クラス（平均 63 点）は A クラス（平均 72 点）よりも英語ができない」ということができるでしょうか？そのような分析は適切といえるでしょうか？
それはデータの分布を見ると適切とは言えません。なぜなら、B クラスの平均点が低いのは、2 点と 4 点を取っている 2 人の影響が大きいからです。それを無視して、平均点だけでクラス全体の評価をするのは正しいとは言えません。
下に、このデータのヒストグラムを示しました。B クラスの 2 点と 4 点が全体から見て異常に小さい値であることを確認してください。
明らかに値が小さい（または、大きい）このような値を異常値といい、B クラスではこれが平均点を押し下げています。平均値は異常値の影響を受けやすいという性質があるため、異常値が含まれる場合、平均値をデータの代表値とするのはあまり適切ではありません。
そこで、データの代表値として中央値を考えます。中央値はデータを大きさの順に並べたときに中央に位置する値のことでした。上の例では A クラスも B クラスもその中央値は 76 点と等しくなります。この例の場合、クラス全体の評価をするには、平均点よりも中央値の方が適切と考えられます。
このように、中央値は異常値の影響を受けにくいという性質があります。
中央値を用いる意味を分かっていただけたでしょうか？それでは続いて、中央値の求め方を説明します。
中央値の求め方
粗データに対する中央値は、次のように求められます。
中央値（メジアン）の求め方
データを小さい順に並び替えたものを x(1),x(2),⋯,x(n) としたとき、中央値 Me は次のように求まる。
Me={x(n+12)(nが奇数)x(n2)+x(n2+1)2(nが偶数)
ここからは、粗データに対する中央値の求め方を、データ数が奇数の場合と偶数の場合に分けて説明しています。
データ数が奇数の場合
データ数が奇数個の場合、中央に位置する 1 つの値が存在するので、それがそのまま中央値となります。
データ数が n 個（奇数個）の場合、中央に位置するのは n+12 番目なので、x(n+12) が中央値となります。
例題を解いて確認してみましょう。ちなみに、下に示したデータは「中央値（メジアン）とは」の項目で用いた例と同じです。
次に示した英語の得点データの中央値を求めよ。
| A クラス （xi） |
|---|
| 49（=x(1)） |
| 55（=x(2)） |
| 56（=x(3)） |
| 62（=x(4)） |
| 65（=x(5)） |
| 76（=x(6)） |
| 78（=x(7)） |
| 80（=x(8)） |
| 84（=x(9)） |
| 90（=x(10)） |
| 97（=x(11)） |
データはすでに小さい順に並んでいます。
データ数（n）は 11 個なので、その中央値は n+12=11+12=6（番目）のデータです。よって、中央値は x(6)=76（点）と求まりました。
データ数が偶数の場合
データ数が偶数個の場合、中央に 1 つの値が位置していません。そこで、中央の 2 つの値の平均値を中央値とします。
データ数が n 個（偶数個）の場合、中央に位置するのは n2 番目と n2+1 番目の 2 つの数なので、その平均値 x(n2)+x(n2+1)2 が中央値となります。
例題を解いて確認してみましょう。
次に示した英語の得点データの中央値を求めよ。
| C クラス （xi） |
|---|
| 55（=x(1)） |
| 56（=x(2)） |
| 62（=x(3)） |
| 65（=x(4)） |
| 76（=x(5)） |
| 78（=x(6)） |
| 80（=x(7)） |
| 84（=x(8)） |
| 90（=x(9)） |
| 97（=x(10)） |
データはすでに小さい順に並んでいます。
データ数（n）は 10 個なので、その中央値は n2=102=5（番目）と n+12=102+1=6（番目）のデータの平均値です。よって、中央値は x(5)+x(6)2=76+782=77（点）と求まりました。