中央値（メジアン）の意味と求め方
中央値（メジアン）とは、データを大きさの順に並べたとき、全体の中央に位置する値のことです。データ数が偶数個の場合は、中央に位置する 2 つの数の平均値を取ることで求められます。
中央値（メジアン）の求め方
データを小さい順に並び替えたものを $x_{(1)},\,x_{(2)},\,\cdots ,\,x_{(n)}$ としたとき、中央値 $Me$ は次のように求まる。
\begin{align*} Me = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & (n\,\text{が奇数}) & \\[5pt] \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} & (n\,\text{が偶数}) & \\[5pt] \end{cases} \end{align*}
もくじ
中央値（メジアン）とは
中央値（メジアン）とは、データを大きさの順に並べたとき、全体の中央に位置する値のことです。データ数が偶数個の場合は、中央に位置する 2 つの数の平均値を取ります。
例として、次のデータの中央値を求めてみましょう。これは、生徒数 11 人のあるクラス（A クラスとします）で行った英語の試験の得点分布です。
| A クラス （$x_i$） |
|---|
| 49（$=x_{(1)}$） |
| 55（$=x_{(2)}$） |
| 56（$=x_{(3)}$） |
| 62（$=x_{(4)}$） |
| 65（$=x_{(5)}$） |
| 76（$=x_{(6)}$） |
| 78（$=x_{(7)}$） |
| 80（$=x_{(8)}$） |
| 84（$=x_{(9)}$） |
| 90（$=x_{(10)}$） |
| 97（$=x_{(11)}$） |
この得点データは小さい順に並んでいて、その中央に位置する値は上から 6 番目の数値 $x_{(6)} = 76$（点）です。この数値の前には 5 個のデータが、後にも 5 個のデータがあることから、ちょうど真ん中にあることを確認できますね。よって、このデータの中央値は 76 点と求まりました。
さて、中央値にはどのような意味があるのかを考えてみましょう。統計でよく用いられる代表値には「平均値」がありますが、これと中央値にはどのような違いがあるのかを説明します。
例として、次のデータを考えます。A クラスと B クラスの英語の得点データを小さい順に並べました。A クラスの得点データは上に挙げた例と同じです。
| A クラス （$x_{(i)}$） | B クラス （$y_{(i)}$） | |
|---|---|---|
| 49（$=x_{(1)}$） | 2（$=y_{(1)}$） | |
| 55（$=x_{(2)}$） | 4（$=y_{(2)}$） | |
| 56（$=x_{(3)}$） | 55（$=y_{(3)}$） | |
| 62（$=x_{(4)}$） | 62（$=y_{(4)}$） | |
| 65（$=x_{(5)}$） | 65（$=y_{(5)}$） | |
| 76（$=x_{(6)}$） | 76（$=y_{(6)}$） | |
| 78（$=x_{(7)}$） | 78（$=y_{(7)}$） | |
| 80（$=x_{(8)}$） | 80（$=y_{(8)}$） | |
| 84（$=x_{(9)}$） | 84（$=y_{(9)}$） | |
| 90（$=x_{(10)}$） | 90（$=y_{(10)}$） | |
| 97（$=x_{(11)}$） | 97（$=y_{(11)}$） | |
| 平均値 | 72（$=\overline{x}$） | 63（$=\overline{y}$） |
| 中央値 | 76 | 76 |
このデータは、説明がしやすいように、先頭の 2 つの得点以外は左右で同じ点数にしています。
それぞれのクラスの平均点を計算すると、A クラスの得点の平均値（$\overline{x}$）が 72 点、B クラスの得点の平均値（$\overline{y}$）が 63 点と求まります。
平均点は B クラスの方が平均点がだいぶ低いですね… では、この平均点の差を理由に「B クラス（平均 63 点）は A クラス（平均 72 点）よりも英語ができない」ということができるでしょうか？そのような分析は適切といえるでしょうか？
それはデータの分布を見ると適切とは言えません。なぜなら、B クラスの平均点が低いのは、2 点と 4 点を取っている 2 人の影響が大きいからです。それを無視して、平均点だけでクラス全体の評価をするのは正しいとは言えません。
下に、このデータのヒストグラムを示しました。B クラスの 2 点と 4 点が全体から見て異常に小さい値であることを確認してください。
明らかに値が小さい（または、大きい）このような値を異常値といい、B クラスではこれが平均点を押し下げています。平均値は異常値の影響を受けやすいという性質があるため、異常値が含まれる場合、平均値をデータの代表値とするのはあまり適切ではありません。
そこで、データの代表値として中央値を考えます。中央値はデータを大きさの順に並べたときに中央に位置する値のことでした。上の例では A クラスも B クラスもその中央値は 76 点と等しくなります。この例の場合、クラス全体の評価をするには、平均点よりも中央値の方が適切と考えられます。
このように、中央値は異常値の影響を受けにくいという性質があります。
中央値を用いる意味を分かっていただけたでしょうか？それでは続いて、中央値の求め方を説明します。
中央値の求め方
粗データに対する中央値は、次のように求められます。
中央値（メジアン）の求め方
データを小さい順に並び替えたものを $x_{(1)},\,x_{(2)},\,\cdots ,\, x_{(n)}$ としたとき、中央値 $Me$ は次のように求まる。
\begin{align*} Me = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & (n\,\text{が奇数}) & \\[5pt] \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} & (n\,\text{が偶数}) & \\[5pt] \end{cases} \end{align*}
ここからは、粗データに対する中央値の求め方を、データ数が奇数の場合と偶数の場合に分けて説明しています。
データ数が奇数の場合
データ数が奇数個の場合、中央に位置する 1 つの値が存在するので、それがそのまま中央値となります。
データ数が $n$ 個（奇数個）の場合、中央に位置するのは $\frac{n+1}{2}$ 番目なので、$ x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$ が中央値となります。
例題を解いて確認してみましょう。ちなみに、下に示したデータは「中央値（メジアン）とは」の項目で用いた例と同じです。
次に示した英語の得点データの中央値を求めよ。
| A クラス （$x_i$） |
|---|
| 49（$=x_{(1)}$） |
| 55（$=x_{(2)}$） |
| 56（$=x_{(3)}$） |
| 62（$=x_{(4)}$） |
| 65（$=x_{(5)}$） |
| 76（$=x_{(6)}$） |
| 78（$=x_{(7)}$） |
| 80（$=x_{(8)}$） |
| 84（$=x_{(9)}$） |
| 90（$=x_{(10)}$） |
| 97（$=x_{(11)}$） |
データはすでに小さい順に並んでいます。
データ数（$n$）は 11 個なので、その中央値は $\frac{n+1}{2}=\frac{11+1}{2}=6$（番目）のデータです。よって、中央値は $x_{(6)} = 76$（点）と求まりました。
データ数が偶数の場合
データ数が偶数個の場合、中央に 1 つの値が位置していません。そこで、中央の 2 つの値の平均値を中央値とします。
データ数が $n$ 個（偶数個）の場合、中央に位置するのは $\frac{n}{2}$ 番目と $\frac{n}{2}+1$ 番目の 2 つの数なので、その平均値 $\frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}$ が中央値となります。
例題を解いて確認してみましょう。
次に示した英語の得点データの中央値を求めよ。
| C クラス （$x_i$） |
|---|
| 55（$=x_{(1)}$） |
| 56（$=x_{(2)}$） |
| 62（$=x_{(3)}$） |
| 65（$=x_{(4)}$） |
| 76（$=x_{(5)}$） |
| 78（$=x_{(6)}$） |
| 80（$=x_{(7)}$） |
| 84（$=x_{(8)}$） |
| 90（$=x_{(9)}$） |
| 97（$=x_{(10)}$） |
データはすでに小さい順に並んでいます。
データ数（$n$）は 10 個なので、その中央値は $\frac{n}{2}=\frac{10}{2}=5$（番目）と $\frac{n+1}{2}=\frac{10}{2}+1=6$（番目）のデータの平均値です。よって、中央値は $\frac{x_{(5)}+x_{(6)}}{2} = \frac{76+78}{2} = 77$（点）と求まりました。