指数関数の意味と性質、グラフ

音階は指数関数で表される

指数関数はどのような場面で使われているのでしょうか？指数関数は科学や経済など多様な場面で使われていますが、一番身近に存在するのは「音階」でしょう。そう、ドレミファソラシド…というやつです。

音の高さは周波数という、1 秒間あたりの振動の回数で決まっています。音の高さが 1 オクターブ上がる（例えば低い「ド」から次に高い「ド」へ）とき、この周波数は 2 倍になります。この関係は、2 を底とする指数関数で表すことが出来るのです。

もっと具体的に、数字を使って示しましょう。通常音階の基準としては、「ラ」の音を 440 Hz（ヘルツ）に調律します。すると、そこから 1 オクターブ高い「ラ」の音の周波数は、その 2 倍の周波数 440 Hz × 2¹ = 880 Hz となります。さらに、基準から 2 オクターブ高い「ラ」の音は、880 Hz のさらに 2 倍の 1760 Hz（= 440 Hz × 2²）となっているのです。

一般に、440 Hz の「ラ」の音を基準にして、そこから x オクターブ高い「ラ」の音の周波数を y とすると、次の式で表すことができます。

\[ y=440\times 2^x \]

式で表すと、オクターブと周波数の関係が指数関数的に表されることが分かりますね。

ここまではオクターブと周波数の指数関数的関係を示しました。ここからはさらに、ドレミファ…という音階と周波数の間にも指数関数的な関係が成り立つことを説明します。

1 オクターブは 12 の半音（ド、ド#、レ、レ#、ミ、ファ、ファ#、ソ、ソ#、ラ、ラ#、シ）に分けられており、これらの周波数は、1 オクターブを乗法的に 12 等分されています。すなわち、半音上がるごとに、その周波数は $2^\frac{1}{12}=\sqrt[12]{2}\approx 1.06$ 倍になっているのです（記号 $\approx$ は $\fallingdotseq$ と同じで「ほぼ等しい」という意味です）。ここで、$\sqrt[12]{2}$ は 12 乗して 2 になる数です（$1.06^{12}\approx 2$）。

下に、440 Hz を基準の「ラ」として、1 オクターブ分の音階の周波数を記しました。半音あがると 1.06 倍（正確には $\sqrt[12]{2} = 1.059463084 \cdots$ 倍）になっていることを確認してみましょう！

\begin{align*} \text{ド}\hphantom{\text{#}}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{-9} &= 261.626 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \text{ド#}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{-8} &= 277.183 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \text{レ}\hphantom{\text{#}}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{-7} &= 293.665 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \text{レ#}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{-6} &= 311.127 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \text{ミ}\hphantom{\text{#}}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{-5} &= 329.628 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \text{ファ}\hphantom{\text{#}}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{-4} &= 349.228 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \text{ファ#}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{-3} &= 369.994 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \text{ソ}\hphantom{\text{#}}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{-2} &= 391.995 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \text{ソ#}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{-1} &= 415.305 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \color{#E17800}{\text{ラ}\hphantom{\text{#}}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{0\hphantom{-}} } &= \color{#E17800}{440.000 \,\mathrm{Hz}} \\[5pt] \text{ラ#}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{1\hphantom{-}} &= 466.164 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \text{シ}\hphantom{\text{#}}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{2\hphantom{-}} &= 493.883 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \text{ド}\hphantom{\text{#}}\quad 440 \,\mathrm{Hz} \times \left( \sqrt[12]{2} \right)^{3\hphantom{-}} &= 523.251 \,\mathrm{Hz} \\[5pt] \end{align*}

これを見ると、音階が指数関数で表されていることが分かりますね。

ちなみに、このような音階を生み出すため、ギターのフレット（指で押さえる部分）は等間隔となっていません。弦の根元から各フレットまでの長さは $\sqrt[12]{2}\approx 1.06$ 倍刻みになっているため、ギターの先端ほどフレットの間隔が広くなっているのです。

指数関数 y=2^x のグラフ

指数関数 $y=2^x$ のグラフは、式 $y=2^x$ の $x$ に様々な値を代入したときの $y$ の値を xy 平面上にプロットすることで得られます。これは、一次関数のグラフを描くのと同じ手順ですね。

$x$ に正の整数を代入した値 $2^1$ や $2^2$ は、中学校で学習した通りの累乗の計算をすればよいだけです。具体的に計算すると、次のようになります

\begin{align*} 2^1 &= 2 \\[5pt] 2^2 &= 2 \times 2 = 4 \\[5pt] \end{align*}

$x$ に 0 や負の数、もしくは分数を代入するとどうなるでしょうか…？これらの値は次のように定義されています。

上の累乗の定義については、「累乗の意味と計算方法」のページをご覧ください。このように定義される理由を説明しています。

上の定義より、指数が 0 や負の整数の場合の値は次のように計算できます。

\begin{align*} 2^0 &= 1 \\[5pt] 2^{-1} &= \frac{1}{2^1} = 0.5 \\[5pt] 2^{-2} &= \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \\[5pt] \end{align*}

さて、累乗の指数が分数の場合はそうすればいいでしょうか？そのような場合は、累乗根を使って次のように書き表すことができます。

これを使うと例えば、$2^\frac{1}{2} = \sqrt[2]{2} = \sqrt{2}$ となります。同様に、指数が $\frac{3}{2},\, -\frac{1}{2},\, -\frac{3}{2}$ の場合を計算すると次のようになります。

\begin{align*} 2^\frac{1}{2} &= \sqrt{2} \approx 1.41 \\[5pt] 2^\frac{3}{2} &= \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \\[5pt] 2^{-\frac{1}{2}} &= \frac{1}{2^\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71 \\[5pt] 2^{-\frac{3}{2}} &= \frac{1}{2^\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2^3}} =　\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0.35 \\[5pt] \end{align*}

ここまで計算してきた値を表にまとめると、次のようになります。

これらの関係を xy 平面にプロットすると、次のようになります。

さらに x の値を細かく取ってプロットすると、次の曲線を得ることができます。これが指数関数 y=2^x のグラフです。（累乗は指数が無理数のときにも定義することができます。すなわち、指数関数の定義域は実数全体となります。）

指数関数 y=(1/2)^x のグラフ

指数関数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ のグラフも、$y=2^x$ のグラフと同様、x に様々な値を代入してプロットすることでグラフを描くことができます。x に -2 から 2 まで $\frac{1}{2}$ ずつ増加させながら代入したときの、y の値は次のように計算できます。

\begin{align*} \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} &= 2^2 = 4 \\[5pt] \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}} &= 2^\frac{3}{2} = \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \\[5pt] \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} &= 2^1 = 2 \\[5pt] \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} &= 2^\frac{1}{2} = \sqrt{2} \approx 1.41 \\[5pt] \left(\frac{1}{2}\right)^{0\hphantom{-}} &= 1 \\[5pt] \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}\hphantom{-}} &= \frac{1}{2^\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71 \\[5pt] \left(\frac{1}{2}\right)^{1\hphantom{-}} &= \frac{1}{2} =0.5 \\[5pt] \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}\hphantom{-}} &= \frac{1}{2^\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2^3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0.35 \\[5pt] \left(\frac{1}{2}\right)^{2\hphantom{-}} &= \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25\\[5pt] \end{align*}

この計算結果を表にまとめると、次のようになります。

これらの関係を xy 平面にプロットすると、次のようになります。

さらに x の値を細かく取ってプロットすると、次の曲線を得ることができます。これが指数関数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ のグラフです。

指数関数のグラフが、なぜこのような曲線になるのかを理解できたでしょうか？続いては、指数関数のグラフの対称性を説明します。

指数関数の対称性

続いて、上で描いた二つの指数関数 $y=2^x$ と $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ のグラフを比較してみましょう。

グラフを描くために取った点の座標は、次の表の通りでした。

この表を見て分かる通り、$y=2^x$ と $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ の値は、$x=0$ のときの値を中心として互いに入れ替わった値になっています。

関数を見ると、$y=2^x$ と $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x=2^{-x}$ では指数部分の $x$ と $-x$ が入れ替わった関係になっています。すなわち、$y=2^x$ のグラフと $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x=2^{-x}$ のグラフは、y 軸に関して対称であることが分かります。

このように、一般に 2 つの指数関数　$y=a^x$ と $y=\left(\frac{1}{a}\right)^x$ のグラフは y 軸に関して対称となります。