部分積分を使う積分計算の解き方 - 例題と解説
前ページで導出した通り、定積分の部分積分法の公式は次の通りです。
\begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)g(x)\,dx = \left[ f(x)G(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x)G(x)\,dx \end{align*}
ここで、G(x) は g(x) の原始関数を表します。
部分積分は、種類の異なる関数の積となっている関数の積分計算に用いられる方法です。たとえば、次の4種類の積分は部分積分を用いることで計算できます。
\begin{align*} &\int (3x+1)\sin x \,dx & &\int x^3 \log x \,dx \\ &\int \log x \,dx & &\int e^x \cos 2x \,dx \end{align*}
このページでは、上に示した4つの積分計算を例題として、部分積分法の使い方を解説しています。
部分積分の公式の導出と、使い方の詳しい説明は前ページ「部分積分の公式とその証明方法、使い方のコツ」をご覧ください。
もくじ
部分積分を使う計算問題
1次式と sin の積の積分
不定積分 $ \int (3x+1)\sin x \,dx $ を求めよ
$ (3x+1) $ を微分すると定数となるので、コチラを微分する関数に選び、$ \sin x $ を積分する関数に選びます。
覚え方を確認しながら、公式を適用しましょう！
積分してそのまま、ひく、インテグラル 積分して微分
\begin{align*} &\hphantom{=} \int (3x+1)\sin x \,dx \\ &= \int (\sin x)(3x+1) \,dx \\ &= (-\cos x) (3x+1) - \int (-\cos x)(3x+1)'\,dx \\ &= -(3x+1)\cos x + 3\int \cos x \,dx \\ &= -(3x+1)\cos x + 3\sin x +C \\ \end{align*}
x のべき乗と log x の積の積分
不定積分 $ \int x^3 \log x \,dx $ を求めよ
$ \log x $ を含むので、コチラを微分する関数に選び、$ x^3 $ を積分する関数に選びます。
積分してそのまま、ひく、インテグラル 積分して微分
\begin{align*} &\hphantom{=} \int x^3 \log x \,dx \\ &= \frac{1}{4} x^4 \cdot \log x - \int \frac{1}{4} x^4 \cdot (\log x)' \,dx \\ &= \frac{1}{4} x^4 \cdot \log x - \int \frac{1}{4} x^4 \cdot \frac{1}{x} \,dx \\ &= \frac{1}{4} x^4 \log x - \frac{1}{4} \int x^3 \,dx \\ &= \frac{1}{4} x^4 \log x - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^4 +C \\ &= \frac{1}{16} x^4 ( 4\log x - 1)+C \\ \end{align*}
log x の積分
不定積分 $ \int \log x \,dx $ を求めよ
$ \log x $ を含むので、コチラを微分する関数に選びます。
初見ではなかなか難しいですが、$ \log x = 1 \cdot \log x $ と見ると、1 を積分できることがわかりますね。
積分してそのまま、ひく、インテグラル 積分して微分
\begin{align*} &\hphantom{=} \int \log x \,dx \\ &= \int 1 \cdot \log x \,dx \\ &= x \cdot \log x - \int x \cdot (\log x)' \,dx \\ &= x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \,dx \\ &= x \log x - \int \,dx \\ &= x \log x -x +C \\ \end{align*}
となります。この、log x の積分は公式として覚えておきましょう！
指数関数と三角関数の積の積分（部分積分を繰り返し用いるパターン）
不定積分 $ \int e^x \cos 2x \,dx $ を求めよ
単純には計算できない積分ですね。ここでは、$ \cos 2x $ を微分する関数に選んで、部分積分を2回用いてみましょう。$ \cos 2x $ を2階微分すると $ \cos 2x $ に戻ってくることを利用して解きます。
ちなみに、$ e^x $ は積分しても $ e^x $ でしたね。
「積分してそのまま、ひく、インテグラル 積分して微分」×2
\begin{align*}\int e^x \cos 2x \,dx &= e^x \cos 2x - \int e^x (-2\sin 2x) \,dx \\ &= e^x \cos 2x +2 \int e^x \sin 2x \,dx \\ &= e^x \cos 2x +2 \left\{ e^x \sin 2x- \int e^x (2\cos 2x) \,dx \right\} \\ &= e^x \cos 2x +2 e^x \sin 2x-4 \int e^x \cos 2x \,dx \\ \end{align*}
ここで、元の不定積分 $ \int e^x \cos 2x \,dx $ が出てきたので、これを左辺に移項し、両辺を5で割ると
\begin{align*} 5\int e^x \cos 2x \,dx &= e^x \cos 2x +2 e^x \sin 2x+ C_1 \\ \int e^x \cos 2x \,dx &= \frac{1}{5} e^x \left(\cos 2x +2 \sin 2x \right) + C \\ \end{align*}
となります。
前ページでは、部分積分の公式の導出方法と、公式の使い方について詳しく説明しています。