円柱の表面積の求め方 - 公式と計算例
円柱の表面積を求める公式は、次の通りです。
- 円柱の表面積を求める公式（小学生向け）
- 表面積 = 2 × 半径 × 半径 × 3.14（円周率） + 直径 × 3.14（円周率）× 高さ
- 円柱の表面積を求める公式（文字式）
- \begin{align*} S &= 2\pi r^2+ 2\pi rh \\[5pt] &= 2\pi r(r+h) \end{align*}
ここで、文字式の S は円柱の表面積、π は円周率、r は底面の円の半径、h は高さを表します。円柱の表面積を求めるには、この公式に底面の半径 r と高さ h を代入します。
もくじ
円柱の表面積を求める公式
前述の通り、円柱の表面積 S を求める公式は、次の通りです。
\begin{align*} S &= 2\pi r^2+ 2\pi rh \\[5pt] &= 2\pi r(r+h) \end{align*}
特に側面積だけに限ると、
\begin{align*} \text{側面積} = 2\pi rh \end{align*}
の形になります。
この式に出てくる文字の意味は、次の通りです。
- S
- 円柱の表面積（Surface area）
- π
- 円周率（= 3.14…）
- r
- 底面の円の半径（radius）
- h
- 高さ（height）
公式の導き方
ここからは、円柱の表面積を求める公式の導き方についてご説明します。
すぐに計算問題を解きたいという方や、公式を使わずに計算をしたいという方は、次の「計算問題」にお進みください
それでは、下に示した半径 r、高さ h の円柱を考えます。
円柱の表面積を考えるときのポイントは、側面を展開したときの長方形の辺の長さを求めることです。
側面を展開して得られる長方形の1辺の長さは、円柱の高さ h に等しいことが分かります。
もう1辺の長さがポイントです。ここは展開する前は底面の円周と接していた部分（図の赤色の線に注目）なので、長さは底面の円周の長さと等しく、$ 2\pi r $になります。この点が理解できれば、あとは円と長方形の面積を求めればよいだけですね。
底面積は $ \pi r^2 $ であり、底面は2つあるのでこれを2倍します。側面積は、長方形の面積より $ 2\pi r \times h $ で求めることが出来ますね。
したがって、円柱の表面積は
\begin{align*} S &= 2 \times \pi r^2+ 2\pi r \times h \\[5pt] &= 2\pi r(r+h) \end{align*}
となり、公式を導くことができました。
続いては、計算問題の解き方を、例題を使って説明します。
円柱の表面積を求める計算問題
底面の半径と高さから表面積を求める問題
底面の半径 3、高さ 4 の円柱の表面積 S を求めよ。
公式を使って解く方法
円柱の表面積を求める公式を覚えていれば、ただそれに代入すればいいだけですね。$ r = 3, h=4 $ より
\begin{align*} S &= 2\pi r(r+h) \\[5pt] &= 2\pi \times 3 \times (3+4) \\[5pt] &= 42\pi \end{align*}
公式を使わずに解く方法
公式を使わない場合は、一度展開図を書いて考えてみましょう。
まず、底面積は $ \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi $ と求まります。
次に、「（側面を展開してできる）長方形の1辺の長さ」と「底面の円周の長さ」は等しく、ともに $ 2 \pi r = 2 \pi \times 3 = 6 \pi $ です。
よって側面積は、1辺が $ 6\pi $、もう1辺が円柱の高さ $4$ の長方形の面積より、$ 6\pi \times 4 = 24\pi $ と求まります。
あとは、底面積と側面積を足すだけです。ただし、底面は2つあるので、底面積を2倍するのを忘れないようにしましょう。
\begin{align*} S &= 2 \times \text{（底面積）}+\text{（側面積）} \\[5pt] &= 2 \times 9\pi + 24\pi \\[5pt] &= 42\pi \end{align*}
底面積と側面積の比を求める問題
※ 文字式を使った問題なので、中学生向けになりますね。
底面の半径 r、高さ h の円柱の、底面積と側面積の比を求めよ。
底面は半径 r の円なので、底面積は $ \pi r^2 $ です。
側面積は、（底面の円周の長さ）×（円柱の高さ）より、$ 2\pi r \times h $ です。
よって求める比は
\begin{align*} \text{（底面積）} : \text{（側面積）} &= \pi r^2 : 2\pi rh \\[5pt] &= r:2h \end{align*}
となります。
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