扇形の面積の求め方 - 公式と計算例

公式の導き方

扇形は円の一部分を切り取った図形です。扇形の面積は、「半径が等しい扇形の面積は、中心角に比例する」という性質を使って、円の面積 $\pi r^2$ に$ \frac{\text{中心角}}{360^\circ} $の割合をかけることで求められます。

つまり、1° というのは、円の中心角 360° の360分の1の大きさなので、中心角 1° の扇形の面積は、半径が等しい円の面積の360分の1ですね。同様に、中心角 2° の扇形の面積は、半径が等しい円の面積の360分の2、…となるわけですね。

公式の2行目に書いた通り、扇形の面積は、半径 r と弧の長さ l が分かっている場合、次の式で簡単に求められてしまいます。

\[ S = \frac{1}{2} lr \]

半径と中心角から面積を求める式から、上の式を導いてみましょう。

\begin{align*} S &= \pi r^2 \times \frac{x}{360} \\[5pt] &= \pi \times r \times r \times \frac{x}{360} \\[5pt] &= \left( 2\pi r \times \frac{x}{360}\right) \times \frac{1}{2} \times r \\[5pt] \end{align*}

ここで、弧の長さ l は

\begin{align*} l = 2\pi r \times \frac{x}{360} \end{align*}

であるから

\begin{align*}S &= l \times \frac{1}{2} \times r \\[5pt] &= \frac{1}{2} lr \\[5pt] \end{align*}

となるのです。

続いては、扇形の面積を求める計算問題を解いてみましょう！

半径と中心角から面積を求める問題

扇形の面積を求める公式に代入して、計算すればいいだけですね。求める面積 S は

\begin{align*} S &= \pi r^2 \times \frac{x}{360} \\[5pt] &= \pi \times 3^2 \times \frac{80}{360} \\[5pt] &= 2\pi \end{align*}

中学生以上なら円周率を文字 π で表してよいですが、小学生の場合は、円周率を 3.14 として計算しなくてはいけませんね。累乗も使わずに書くと、

\begin{align*} \text{扇形の面積} &= \text{半径} \times \text{半径} \times 3.14 \times \frac{80}{360} \\[5pt] &= 3 \times 3 \times 3.14 \times \frac{80}{360} \\[5pt] &= 6.28 \end{align*}

となります。

半径と弧の長さから面積を求める問題

次の図に示した扇形の面積 S を求めよ。

図に示された扇形の半径は 3、弧の長さは 4π ですね。「扇形の半径と弧の長さから面積を求める公式」を覚えていれば、公式に代入して

\begin{align*}S &= \frac{1}{2} lr \\[5pt] &= \frac{1}{2} \times 4\pi \times 3 \\[5pt] &= 6\pi \\[5pt] (&= 6 \times 3.14) \\[5pt] (&= 18.84) \\[5pt] \end{align*}

となります。

この公式を覚えていない場合は、まず中心角を求めます。

扇形の中心角は弧の長さに比例するので、中心角 x° とすると

\begin{align*} x &= 360 \times \frac{弧の長さ}{円周の長さ} \\[5pt] &= 360 \times \frac{4\pi}{2\pi \times 3} \\[5pt] &= 240 \\[5pt] \end{align*}

したがって、中心角は 240° と求まりました。あとは、一般的な扇形の面積を求める公式を使って

\begin{align*} S &= \pi r^2 \times \frac{x}{360^\circ} \\[5pt] &= \pi \times 3^2 \times \frac{240}{360} \\[5pt] &= 6\pi \\[5pt] \end{align*}

となります。