扇形の面積の求め方 - 公式と計算例

扇形の面積を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} S &= \pi r^2 \times \frac{x}{360} \\[5pt] &= \frac{1}{2} lr \end{align*}

中心角 x°、半径 r の扇形
中心角 x°、半径 r の扇形

ここで、S は扇形の面積、π は円周率、r は円の半径、x は中心角(単位「度」)を表します。また、2行目の l は扇形の弧の長さを表します。

このページの続きでは、この公式の導き方と、扇形の面積を求める計算問題の解き方を説明しています。

小学生向けに、文字を使わない説明もしているので、ぜひご覧ください。


もくじ

  1. 扇形の面積を求める公式
    1. 公式の導き方
  2. 扇形の面積を求める計算問題
    1. 半径と中心角から面積を求める問題
    2. 半径と弧の長さから面積を求める問題

扇形の面積を求める公式

前述の通り、扇形の面積 S を求める公式は、次の通りです。

\begin{align*} S &= \pi r^2 \times \frac{x}{360} \\[5pt] &= \frac{1}{2} lr \end{align*}

この式に出てくる文字の意味は、次の通りです。

S
扇形の面積(Surface area)
π
円周率(= 3.14…)
r
円の半径(radius)
中心角
l
扇形の弧の長さ(length)

公式の導き方

扇形は円の一部分を切り取った図形です。扇形の面積は、「半径が等しい扇形の面積は、中心角に比例する」という性質を使って、円の面積 $\pi r^2$ に$ \frac{\text{中心角}}{360^\circ} $の割合をかけることで求められます。

つまり、1° というのは、円の中心角 360° の360分の1の大きさなので、中心角 1° の扇形の面積は、半径が等しい円の面積の360分の1ですね。同様に、中心角 2° の扇形の面積は、半径が等しい円の面積の360分の2、…となるわけですね。


公式の2行目に書いた通り、扇形の面積は、半径 r と弧の長さ l が分かっている場合、次の式で簡単に求められてしまいます。

\[ S = \frac{1}{2} lr \]

半径と中心角から面積を求める式から、上の式を導いてみましょう。

\begin{align*} S &= \pi r^2 \times \frac{x}{360} \\[5pt] &= \pi \times r \times r \times \frac{x}{360} \\[5pt] &= \left( 2\pi r \times \frac{x}{360}\right) \times \frac{1}{2} \times r \\[5pt] \end{align*}

ここで、弧の長さ l は

\begin{align*} l = 2\pi r \times \frac{x}{360} \end{align*}

であるから

\begin{align*}S &= l \times \frac{1}{2} \times r \\[5pt] &= \frac{1}{2} lr \\[5pt] \end{align*}

となるのです。

続いては、扇形の面積を求める計算問題を解いてみましょう!

扇形の面積を求める計算問題

半径と中心角から面積を求める問題

半径 3、中心角 80° の扇形の面積を求めよ。

扇形の面積を求める公式に代入して、計算すればいいだけですね。求める面積 S は

\begin{align*} S &= \pi r^2 \times \frac{x}{360} \\[5pt] &= \pi \times 3^2 \times \frac{80}{360} \\[5pt] &= 2\pi \end{align*}

中学生以上なら円周率を文字 π で表してよいですが、小学生の場合は、円周率を 3.14 として計算しなくてはいけませんね。累乗も使わずに書くと、

\begin{align*} \text{扇形の面積} &= \text{半径} \times \text{半径} \times 3.14 \times \frac{80}{360} \\[5pt] &= 3 \times 3 \times 3.14 \times \frac{80}{360} \\[5pt] &= 6.28 \end{align*}

となります。

半径と弧の長さから面積を求める問題

次の図に示した扇形の面積 S を求めよ。

半径 3、弧の長さ 4π の扇形

図に示された扇形の半径は 3、弧の長さは 4π ですね。「扇形の半径と弧の長さから面積を求める公式」を覚えていれば、公式に代入して

\begin{align*}S &= \frac{1}{2} lr \\[5pt] &= \frac{1}{2} \times 4\pi \times 3 \\[5pt] &= 6\pi \\[5pt] (&= 6 \times 3.14) \\[5pt] (&= 18.84) \\[5pt] \end{align*}

となります。


この公式を覚えていない場合は、まず中心角を求めます。

扇形の中心角は弧の長さに比例するので、中心角 x° とすると

\begin{align*} x &= 360 \times \frac{弧の長さ}{円周の長さ} \\[5pt] &= 360 \times \frac{4\pi}{2\pi \times 3} \\[5pt] &= 240 \\[5pt] \end{align*}

したがって、中心角は 240° と求まりました。あとは、一般的な扇形の面積を求める公式を使って

\begin{align*} S &= \pi r^2 \times \frac{x}{360^\circ} \\[5pt] &= \pi \times 3^2 \times \frac{240}{360} \\[5pt] &= 6\pi \\[5pt] \end{align*}

となります。

他の平面図形の面積の求め方は、次のページでご覧になれます。