面積の求め方 - 計算公式一覧

面積(めんせき)とは、(せん)(かこ)まれた平面(へいめん)曲面(きょくめん)(ひろ)さのことです。

このページでは、様々(さまざま)平面(へいめん)図形(ずけい)面積(めんせき)(もと)(かた)一覧(いちらん)にまとめています。図形(ずけい)面積(めんせき)公式(こうしき)をセットで(おぼ)えましょう!

それぞれの公式(こうしき)(みちび)(かた)や、面積(めんせき)計算(けいさん)問題(もんだい)()(かた)は、リンク(さき)のページで()られます。(くわ)しく()りたい(かた)は、ご(らん)ください。


もくじ

  1. 三角形(さんかくけい)面積(めんせき)
    1. 底辺(ていへん)(たか)さが()かっている三角形(さんかくけい)
    2. 正三角形(せいさんかくけい)
    3. 三平方(さんへいほう)定理(ていり)利用(りよう)
    4. 3(ぺん)(なが)さが()かっている三角形(さんかくけい)
    5. 2(へん)とその(あいだ)(かく)()かっている三角形(さんかくけい)
    6. 内接(ないせつ)(えん)半径(はんけい)()かっている三角形(さんかくけい)
    7. 外接(がいせつ)(えん)半径(はんけい)()かっている三角形(さんかくけい)
  2. 四角形(しかくけい)面積(めんせき)
    1. 正方形(せいほうけい)
    2. 長方形(ちょうほうけい)
    3. 平行四辺形(へいこうしへんけい)
    4. 台形(だいけい)
    5. ひし(がた)
  3. (えん)とその仲間(なかま)面積(めんせき)
    1. (えん)
    2. 扇形(おうぎがた)
    3. 円環(えんかん)
    4. 楕円(だえん)

三角形の面積

三角形(さんかくけい)面積(めんせき)の求め方の基本(きほん)は「底辺(ていへん) × (たか)さ ÷ 2」ですが、高さが分からないときに()情報(じょうほう)から面積を求める公式(こうしき)がいくつもあります。

ここでは、三辺の長さが分かっている場合(ばあい)や、角度(かくど)内接円(ないせつえん)外接円(がいせつえん)半径(はんけい)が分かっている場合(ばあい)の面積の求め方をご紹介(しょうかい)しています。

底辺と高さが分かっている三角形

底辺 a、高さ h の三角形
底辺(ていへん) a、高さ h の三角形

底辺(ていへん) $a$、高さ $h$ の三角形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

三角形の面積(基本)
\begin{align*} S = \frac{1}{2} ah \end{align*}
面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2

正三角形

一辺の長さ a の三角形
一辺の長さ a の三角形

一辺(いっぺん)の長さ $a$ の三角形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

正三角形(せいさんかくけい)の面積
\begin{align*} S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \end{align*}
面積 = 一辺(いっぺん) × 一辺 × 1.41 ÷ 4

三平方の定理の利用

一辺の長さ a、斜辺の長さ c の三角形
一辺の長さ a、斜辺(しゃへん)の長さ c の三角形

底辺とそれに対する高さが分からない三角形の場合、直角(ちょっかく)三角形を作り、三平方(さんへいほう)定理(ていり)から高さを()られることが(おお)いです。

一辺の長さ $a$、斜辺の長さ $c$ の直角三角形の、残り一辺の長さ $b$ は、三平方の定理で求められます。

三平方(さんへいほう)定理(ていり)
\begin{align*} b = \sqrt{c^2 -a^2} \end{align*}

3辺の長さが分かっている三角形

三辺の長さが a、b、c の三角形
三辺の長さが a、b、c の三角形

三辺の長さ $a,b,c$ の三角形の面積 $S$ は、次のヘロンの公式で求められます。

三角形の面積(ヘロンの公式)
\begin{align*} S &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\[5pt] \text{ただし} \\[5pt] s &= \frac{a+b+c}{2} \end{align*}

公式の導出(どうしゅつ)方法と計算(れい)は「ヘロンの公式」をご(らん)ください。

2辺とその間の角が分かっている三角形

二辺の長さ a、b、その間の角 θ の三角形
二辺の長さ a、b、その間の角 θ の三角形

二辺の長さ $a,b$ 、その間の各 $\theta$ の三角形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

三角形の面積(三角関数(さんかくかんすう)
\begin{align*} S = \frac{1}{2} ab \sin \theta \end{align*}

内接円の半径が分かっている三角形

三辺の長さが a、b、c、内接円の半径 r の三角形
三辺の長さが a、b、c、内接円(ないせつえん)の半径 r の三角形

三辺の長さ $a,b,c$、内接円の半径 $r$ の三角形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

三角形の面積(内接円(ないせつえん)の半径を利用)
\begin{align*} S = \frac{1}{2} r(a+b+c) \end{align*}

外接円の半径が分かっている三角形

三辺の長さが a、b、c、外接円の半径 R の三角形
三辺の長さが a、b、c、外接円(がいせつえん)の半径 R の三角形

三辺の長さ $a,b,c$、内接円の半径 $R$ の三角形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

三角形の面積(外接円(がいせつえん)の半径を利用)
\begin{align*} S = \frac{abc}{4R} \end{align*}

四角形の面積

四角形の面積を求める公式は、どれも三角形の面積を求める公式から得ることが出来ます。四角形に対角線(たいかくせん)を引くと、三角形に分けられますよね?

正方形

一辺の長さ a の正方形
一辺の長さ a の正方形(せいほうけい)

一辺の長さ $a$ の正方形(せいほうけい)の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

正方形(せいほうけい)の面積
\begin{align*} S = a^2 \end{align*}
面積 = 一辺 × 一辺

長方形

縦 a、横 b の長方形
縦 a、横 b の長方形(ちょうほうけい)

縦の長さ $a$、横の長さ $b$ の長方形(ちょうほうけい)の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

長方形(ちょうほうけい)の面積
\begin{align*} S = ab \end{align*}
面積 = たて × 横

平行四辺形

底辺 a、高さ h の平行四辺形
底辺 a、高さ h の平行四辺形(へいこうしへんけい)

底辺の長さ $a$、高さ $h$ の平行四辺形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

平行四辺形(へいこうしへんけい)の面積
\begin{align*} S = ah \end{align*}
面積 = 底辺 × 高さ

公式の導出(どうしゅつ)方法と計算(れい)は「平行四辺形の面積の求め方」をご覧ください。

台形

上底 a、下底 b、高さ h の台形
上底 a、下底 b、高さ h の台形(だいけい)

上底 $a$、下底 $b$、高さ $h$ の台形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

台形(だいけい)の面積
\begin{align*} S = \frac{1}{2}(a+b)h \end{align*}
面積 = (上底(じょうてい) + 下底(かてい)) × 高さ ÷ 2

公式の導出(どうしゅつ)方法と計算(れい)は「台形の面積の求め方」をご覧ください。

ひし形

2つの対角線の長さが a、b のひし形
2つの対角線の長さが a、b のひし(がた)

2つの対角線の長さが $a$、$b$ のひし形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

ひし(がた)の面積
\begin{align*} S = \frac{1}{2} ab \end{align*}
面積 = たての対角線(たいかくせん) × 横の対角線 ÷ 2

公式の導出(どうしゅつ)方法と計算(れい)は「ひし形の面積の求め方」をご覧ください。

円とその仲間の面積

円の面積を求める公式は小学校で習いますが、なぜその公式になるのか?という疑問(ぎもん)は、高校2年生で 微分 ( びぶん ) を学習するまで分かりません!下のリンクでは、図形的に公式を理解(りかい)してもらう方法を紹介(しょうかい)しています。

扇形(おうぎがた)の面積も重要(じゅうよう)ですね。

半径 r の円
半径 r の(えん)

半径 $r$ の円の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

(えん)の面積
\begin{align*} S = \pi r^2 \end{align*}
面積 = 半径 × 半径 × 3.14

公式の導出(どうしゅつ)方法と計算(れい)は「円の面積の求め方」をご覧ください。

扇形

半径 r、中心角 x° の扇形
半径 r、中心角 x° の扇形(おうぎがた)

半径 $r$、中心角 $x^\circ$ の扇形の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

扇形(おうぎがた)の面積
\begin{align*} S = \pi r^2 \times \frac{x}{360} \end{align*}
面積 = 半径 × 半径 × 3.14 × 中心角 ÷ 360°

公式の導出(どうしゅつ)方法と計算(れい)は「扇形の面積の求め方」をご覧ください。


なお、中心角をラジアン単位で θ(シータ) と表すと、面積は次の式で求まります。

扇形の面積(ラジアン単位)
\begin{align*} S &= \frac{1}{2} r^2 \theta \\[5pt] &= \frac{1}{2} rl \end{align*}

ここで $l$ は()の長さです。

円環

大きい半径 R、小さい半径 r の円環
大きい半径 R、小さい半径 r の円環(えんかん)

大きい半径 $R$、小さい半径 $r$ の円環の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

円環(えんかん)の面積
\begin{align*} S = \pi (R^2 -r^2) \end{align*}

楕円

楕円
楕円(だえん)

楕円の式

\[ \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1 \quad(a,b \gt 0) \]

で表される楕円の面積 $S$ は、次の公式で求められます。

楕円(だえん)の面積
\begin{align*} S = \pi ab \end{align*}