台形の面積の求め方 - 公式と計算例
台形の面積を求める公式は、次の通りです。
- 台形の面積を求める公式
- 面積 = (上底 + 下底) × 高さ ÷ 2
- 台形の面積を求める公式（文字式）
- \begin{align*} S = \frac{1}{2}(a+b)h \end{align*}
ここで、a と b はそれぞれ台形の上底と下底、h は高さを表します。
このページでは、この公式の導き方と、台形の面積を求める計算問題の解き方を説明しています。
小学生向けに文字を使わない説明もしているので、ぜひご覧ください。
もくじ
台形の面積を求める公式
前述の通り、台形の面積 S を求める公式は、次の通りです。
\begin{align*} S &= \frac{(a+b)h}{2} \end{align*}
この式に出てくる文字の意味は、次の通りです。
- S
- 台形の面積（Surface area）
- a と b
- 上底と下底
- h
- 台形の高さ（height）
上底と下底とは、台形の平行な2つの辺（底辺）のことを指します。どちらの辺を、上底または下底に選んでも構いません。また、高さとは、この底辺間の距離をいいます。
公式の導き方
台形の面積を求める公式は、2つの台形をつなげて平行四辺形にし、この平行四辺形の面積を半分にするという方法で導き出せます。
下の図のように、同じ（合同な）2つの台形を用意します。
次に、図の右側の台形を180° 回転させてから、台形の脚（平行でないほうの2辺）が接するようにつなげます。
するとこの図形全体は、平行四辺形になりますね（図の赤線）。この平行四辺形の、底辺の長さは元の台形の（上底 a）+（下底 b）、高さは変わらず h となっています。
平行四辺形の面積は（底辺）×（高さ）で求められます。よって、この面積は $(a+b)\times h$ 、言葉で表すと、{(上底)+(下底)}×(高さ) で求めることが出来ます。
最後に、この平行四辺形は、2つの同じ（合同な）台形をくっつけて出来たものでした。なので、台形の面積はこの平行四辺形の面積の半分となります。式で表すと
\[ \frac{(a+b)h}{2} \]
言葉で表すと
{(上底)+(下底)}×(高さ)÷2
となります。
これで、台形の面積を求める公式を導くことができました！
続いては、この公式を使って計算問題を解いてみましょう！
台形の面積を求める計算問題
上底、下底、高さから面積を求める問題
下の図に示した台形の面積を求めよ。
台形の面積を求める公式に代入して、計算すればいいだけですね。求める面積 S は
\begin{align*} S &= \frac{(a+b)h}{2} \\[5pt] &= \frac{(4+15)\times 9}{2} \\[5pt] &= \frac{171}{2} \,\textrm{[cm}^2 \textrm{]}\end{align*}
小学生の方向けに、式を言葉で表すと
\begin{align*} \text{台形の面積} &= \left\{ \text{上底} + \text{下底} \right\} \times \text{高さ} \div 2 \\[5pt] &= (4+15)\times 9 \div 2 \\[5pt] &= \frac{171}{2} \,\textrm{[cm}^2 \textrm{]} \end{align*}
となります。
三平方の定理を組み合わせて面積を求める問題
次の問題は、三平方の定理を使うため、中学3年生以上向けです。
下の図に示した台形の面積を求めよ。
この問題では、台形の面積を求めるのに必要な、上底と高さの情報が与えられていませんね。しかし、60° と 45° という代表的な角（三角定規の角度）が与えられているので、直角三角形を作って、その3辺の比から計算を進めます。
下の図のように2つの補助線を引いて考えましょう。
左の直角三角形の3辺は $ 1:2:\sqrt{3} $ の関係にあり、右の直角三角形の3辺は $ 1:1:\sqrt{2} $ の関係にあることが分かります（中学3年生で勉強しますね）。
これらの比から分かる辺の長さを記入していくと、上図の通り、高さが $ \sqrt{3} $、上底が $ 3-\sqrt{3} $ であることが分かります。
最後に、これらの値を、台形の面積を求める公式に代入して
\begin{align*} S &= \frac{(a+b)h}{2} \\[5pt] &= \frac{\left\{ (3-\sqrt{3})+4 \right\} \times \sqrt{3}}{2} \\[5pt] &= \frac{(7-\sqrt{3})\sqrt{3}}{2} \,\textrm{[cm}^2 \textrm{]} \end{align*}
となります。
他の平面図形の面積の求め方は、次のページでご覧になれます。