タンジェントとは何か？ - 中学生でも分かる三角関数の基礎

タンジェントの定義

タンジェントは、サイン（sin）、コサイン（cos）と並ぶ三角関数の一つです。日本語では「正接」といいます。

前述の通り、タンジェントの定義は次のように表されます。

\[ \tan A = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} \]

これは定義なので、そういうもの、と納得してもらうしかありません…。記号の読み方は、そのまま「タンジェント エー」です。

タンジェントの意味は、中学3年で学習する「相似」とつながっています。相似な図形同士は、対応する角の大きさは同じで、対応する辺の比は一定でした。

つまり、上の図の角 A が同じなら、AC と BC の比は常に一定なのですね。この比の値を、角 A の大きさと関連付けて考えるのが、タンジェントなのです。

では、三角定規に使われている代表的な2種類の三角形から、30°、45°、60° のタンジェントの値を求めてみましょう！

代表的な角度に対するタンジェントの値

ここでは、特別な2つの三角形について、そのタンジェントの値を求めてみます。特別な三角形とは、小学校で使う2種類の三角定規になっている三角形です。

最初は、下の直角二等辺三角形を見てみましょう！これから、$ \tan 45^\circ $ を求めることができます。

二等辺三角形なので、2つの等辺の長さは等しいですね。この長さを 1 とします。そして、二等辺三角形の2つの底角の大きさは等しいので、図の左下の角は 45° であることが分かります。

三角形は、先ほどの「定義」の図と同じ向きになるよう、直角を右下に、注目する 45° の角を左下にしました。このように向きをそろえて見ることが大事です。

あとは、先ほどのタンジェントの定義の図と式に当てはめながら、これらの値を代入してみます！

\[ \tan 45^\circ = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}= \frac{1}{1} = 1 \]

はい！でき上がりです！タンジェント 45° は 1 と求まりました！簡単ですね…！

では続いて、三角定規に使われているもう一つの三角形について考えましょう。この三角形からは、$ \tan 60^\circ $ と $ \tan 30^\circ $ の値を得ることが出来ます。

この三角形の3つの角の大きさは 30°、60°、90° でしたね。そして3辺の長さの比は、三平方の定理を使って求めることができ、図のように $1:2:\sqrt{3}$ であることが分かっています。

（三辺の比の求め方：この三角形は、正三角形をその頂角の二等分線で半分にした図形です。正三角形の一辺の長さ $\mathrm{AB}=2$ とすると、底辺は二等分されたので $\mathrm{AC}=1 $ となります。最後に三平方の定理より、$\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^2-\mathrm{AC}^2}=\sqrt{3}$ と求まります）

それでは、この三角形をさきほどの「定義」と同じ向きで置いて、タンジェントの値を求めます。

上の図では、60° の角が左下になるように置きました。この時のタンジェントの値は、次のように求まります。

\[ \tan 60^\circ = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} = \frac{\sqrt{3}}{1} \approx 1.732 \]

なるほど、なるほど。では、30° の角が左下になるように置いたらどうでしょうか？

定義の図と見合わせてみると、

\[ \tan 30^\circ = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}= \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.5774 \]

ですね。

以上3つが、タンジェントの代表的な値です。意外と簡単に求められましたね…？

今計算した、代表角に対するタンジェントの値をまとめると

\begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\[5pt] \tan 45^\circ &= 1 \\[5pt] \tan 60^\circ &= \sqrt{3} \\[5pt] \end{align*}

となります。

…そして実は、高校生になって三角関数を勉強した後でも、覚えるべきタンジェントの値は、この3つだけなのです！ここで用いた2つの三角形は、中学3年の「三平方の定理」のところで勉強しているので、パッとイメージすれば、すぐに分かりますよね？

ちなみに、代表角 30°、45°、60° を倍にした角度や半分にした角度のタンジェントの値は、公式を使って計算することが出来ます。そして、もっともっと細かい角度に対しても、すでに計算結果があります。例えば 1° 単位のタンジェントの値は、このページ下の「タンジェントの表」に載せています（実用面では計算機が計算してくれるので、表を使う場面はないと思うけど）。

では、このようにして求めたタンジェントの値が、実用面ではどのように用いられるのかを、ご紹介します。

タンジェントの利用方法

ここでは、高い木の高さを求めたい！という場合を考えてみましょう。高い木に登ってメジャーを垂らすのは大変なので、地上からタンジェントの値を利用して求めることにします。そんなことが、できるんです。

例えば、木からの水平距離が 5m の位置（← これは自分で測る）から木の頂点を見え上げたときの仰角（ぎょうかく、図の∠A）が、52° だったとします。

これを先ほどのタンジェントの式に代入すると、

\[ \tan 52^\circ = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} = \frac{\mathrm{AC}}{5} \]

この式より

\[ \mathrm{AC} = 5\tan 52^\circ \]

となります。ところで、$\tan 52^\circ $ の値というのはすでに求まっていて、約 1.28 です（タンジェントの表も参照）。上の式にこの値を代入すると

\[ \mathrm{AC} = 5\times 1.28 = 6.4 \,\textrm{[m]} \]

と求めることができました。これで、木に登らなくても安全に高さを求められましたね。

そんな正確に角度を求められるの…と疑問に思われるかもしれませんが、機械を使えばそれは可能です。

実際、このような作業は、工事現場でよくみられる「測量」で行われています。工事現場にはよく、赤と白の棒を持った人を望遠鏡でのぞいている人がいますよね？あれです。

測量機には距離と角度を正確に測る機能が備わっているので、今と同じ手法で、建物などの高さを測っているのです！

→ 参考「測量機のはたらき」

基本的な公式

定義はそれほど難しくないタンジェントですが、サイン（sin）やコサイン（cos）といった、他の三角関数と結びつきながら、様々な関係式を得ることが出来ます。

ここでは、タンジェント（tan）に関する公式を一覧で紹介しています。

\begin{align*} \tan \left( \alpha +\beta \right) &= \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1- \tan \alpha \tan \beta} \\[5pt] \tan \left( \alpha - \beta \right) &= \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+ \tan \alpha \tan \beta} \\[5pt] \tan 2\alpha &= \frac{2\tan \alpha}{1- \tan^2 \alpha} \\[5pt] \tan^2 \left( \frac{\alpha}{2} \right) &= \frac{1-\cos \alpha}{1+ \cos \alpha} \\[5pt] \end{align*}

微分・積分

タンジェントの微分・積分は次のようになります。

\begin{align*} (\tan x)' &= \frac{1}{\cos^2 x} \\[5pt] \left(\frac{1}{\tan x}\right)' &= - \frac{1}{\sin^2 x} \\[5pt] \int \tan x \,dx &= -\log|\cos x| + C \\[5pt] \int \frac{1}{\tan x} \,dx &= \log|\sin x| + C \\[5pt] \end{align*}