三角形の相似条件

三角形の相似条件

ここでは、三角形の相似条件を図と共に確認していきましょう。

三角形の相似条件は、次の3つがあります。

3組の辺の比がすべて等しい

「3組の辺の比が等しい」とは、上の2つの三角形で

\[ a:a'=b:b'=c:c' \]

が成り立つことをいいます。

この条件を、3辺比相当（SSS: Side-Side-Side）とも言います。

2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい

「2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい」とは、上の2つの三角形で

\[ a:a'=c:c' \]

\[ \angle B = \angle B' \]

が成り立つことをいいます。

この条件を、2辺比夾角相当（SAS: Side-Angle-Side）とも言います。

2組の角がそれぞれ等しい

「2組の角がそれぞれ等しい」とは、上の2つの三角形で

\[ \angle B=\angle B' \]

\[ \angle C=\angle C' \]

が成り立つことをいいます。

この条件を、2角相当（AA: Angle-Angle）とも言います。

以上3つの相似条件のうち、どれか1つでも満たす三角形は、相似であるということができます。

相似は中学3年で習うものだと思いますが、どれも、中学2年で学習した三角形の合同条件と似ていますね。この違いを意識して覚えるといいのではないでしょうか。

ちなみに相似とは、ある図形を拡大または縮小した関係にある図形同士のことでしたね。相似な図形の対応する線分の長さの比や、対応する角は等しいという性質があります。

相似な三角形の証明問題

三角形の相似条件を使って、簡単な証明問題を解いてみましょう。

下の図で相似な三角形を見つけ、それらが相似であることを証明せよ。

直角三角形ABCの中に、直角三角形EBDが入っている図形ですね。∠Bが2つの直角三角形で共通であることが分かれば、簡単に証明できます。

証明

△ABC と △EBD で

\begin{align*} ∠ABC &= ∠EBD \text{（共通な角）} & & \cdots ① \\[5pt] ∠ACB &= ∠EDB = 90° &　&\cdots ② \end{align*}

①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから

△ABC ∽ △EBD

このように、2つの三角形が相似であることを示せました。