円錐の体積の求め方 - 公式と計算例
円錐の体積を求める公式は、次の通りです。
- 円錐の体積を求める公式
- 体積 = 底面積 × 高さ ÷ 3
- 体積 = 半径 × 半径 × 3.14（円周率） × 高さ ÷ 3
- 円錐の体積を求める公式（文字式）
- \begin{align*} V &= \frac{1}{3} Sh \\[5pt] &= \frac{1}{3} \pi r^2 h \end{align*}
ここで、文字式の V は円錐の体積、S は底面積、h は高さを表します。また、2行目における π は円周率、r は底面の円の半径です。
円錐の体積を求めるには、この公式に底面の半径 r と高さ h を代入すればよいだけです。このページの続きでは、例題を使って、この公式の使い方を説明しています。
もくじ
円錐の体積を求める公式
前述の通り、円錐の体積 V を求める公式は、次の通りです。
\begin{align*} V &= \frac{1}{3} Sh \end{align*}
底面の円の面積 S について、
\[ S = \pi r^2 \]
なので、これを上式に代入すると
\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \pi r^2 h \end{align*}
の形にもできます。
この式に出てくる文字の意味は、次の通りです。
- V
- 円錐の体積（Volume）
- S
- 底面の面積
- h
- 高さ（height）
- π
- 円周率（= 3.14…）
- r
- 底面の円の半径（radius）
この公式に出てくる 1/3 って何？という疑問を持つ方が多いと思います。その答えは高校2年生で「積分」の勉強をすることで得られます。
積分って何？と興味を持ってくれた方のために、計算式だけお見せしますね（肝心なのは体積や積分といった概念ですが…）。
\begin{align*} \int_{0}^{h} \pi \left(r \cdot \frac{x}{h} \right)^2 \,dx &= \frac{\pi r^2}{h^2} \int_{0}^{h} x^2 \, dx \\[5pt] &= \frac{\pi r^2}{h^2} \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{h} \\[5pt] &= \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{1}{3} h^3 \\[5pt] &= \frac{1}{3} \pi r^2 h \\[5pt] \end{align*}
続いては、この公式を使って円錐や円錐台の体積を求める方法を、例題を使って説明します。
円錐の体積を求める計算問題
底面の半径と高さから体積を求める問題
底面の半径 2、高さ 3 の円錐の体積 V を求めよ。
円錐の体積の公式に代入すればいいだけですね。
\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \pi r^2 h \\[5pt] &= \frac{1}{3} \pi \times 2^2 \times 3 \\[5pt] &= 4 \pi \\ \end{align*}
円錐台の体積を求める問題
下図のように、底面の半径 4、高さ 6 の円錐を、高さ 3 の点を通り底面に平行な平面で切った図形がある（円錐台）。この立体の上底の半径は 2 である。この立体の体積を求めよ。
この立体の体積は、元の円錐（底面の半径4、高さ6）から、切り取られた小さな円錐（底面の半径2、高さ3）の体積を引くことで求めることが出来ます。
したがって、求める体積 V は
\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 6 - \frac{1}{3} \pi \times 2^2 \times 3 \\[5pt] &= 28 \pi \\ \end{align*}
となります。
ちなみに、今回の問題では、計算に使用する4つの数値をすべて与えましたが、中学3年で学習する相似を用いれば、3つの数値から残り1つの数値を求めることが出来ます。
頂点、底面の中心、底面の円周上の点 の3つを通る断面を考えれば、相似比2の関係にある2つの三角形を見つけることができるでしょう。
他の立体図形の体積の求め方は、次のページでご覧になれます。