平方根の意味と計算方法、性質
もくじ
平方根とは
2 乗すると a になる数のことを a の平方根といいます。つまり、式 x2 = a の x に当てはまる数が a の平方根です。1 つの正の数に対して、その平方根は正と負の 2 つあります。
平方根は、二乗根や自乗根と言われることもあります。
平方根の計算
それでは、平方根の求め方を説明します。
次の例題を一緒に解いてみましょう。
9 の平方根を求めよ。
この問題では、2 乗して 9 になる数を探します。9 は正の数なので、その平方根は正と負の 2 つ存在します。
次の式より、3 と -3 を 2 乗すると、ともに 9 になることが分かります。
\[3^2=9,\quad(-3)^2=9\]
よって、9 の平方根は 3 と -3 と求まりました。
平方根は、根号（ルート）を使って表すことができます。
ある正の数の平方根のうち、正の方を $\sqrt{a}$ と書き、「ルート a」と読みます。負の方は $-\sqrt{a}$ となります。
それでは、もう一つ平方根を求める問題を解いてみましょう。
3 の平方根を求めよ。
2 乗して 3 になる数は、有理数（分数の形で表せる数）の範囲には存在しません。そこで、このような数を根号（ルート） $\sqrt{\quad}$ を使って表します。
よって、3 の正の平方根は $\sqrt{3}$、負の平方根は $-\sqrt{3}$ となります。それぞれ、「ルート 3」「マイナス ルート 3」と読みます。
また、この 2 つをまとめて $\pm\sqrt{3}$ と表し、「プラスマイナス ルート 3」と読むことがあります。
平方根の詳しい計算方法は、「ルートの計算方法」のページをご覧ください。
平方根の性質
平方根には、次の性質があります。
- 正の数の平方根には正の数と負の数があり、それらの絶対値は等しい。
- 0 の平方根は 0 である。
- 負の数の平方根は（実数の範囲には）ない。
2 つ目の項目について、2 乗して 0 になる数は 0 だけなので、0 の平方根は 0 の 1 つだけとなります。
3 つ目の項目について、2 乗して負になる数は（実数の範囲には）ないので、中学校の範囲では負の数の平方根はないとします。しかし、複素数の範囲では、2 乗して -1 になる数 i が定義されているので、負の数の平方根も存在することになります。複素数は高校で学習します。
また、平方根の定義より、根号（ルート）を使って表された数には、次の式が成り立ちます。
\begin{align*} (\sqrt{a})^2 &= a \\[5pt] (-\sqrt{a})^2 &= a \end{align*}
平方根の大きさ
平方根の大小については、次の関係式が成り立ちます。
$a\gt0,\,b\gt0$ のとき
\[ a\lt b \,\,\text{ならば}\,\, \sqrt{a} \lt \sqrt{b} \]
それでは、次の例題を解いてみましょう。
$\sqrt{7}$ と $\sqrt{11}$ の大小を、不等号を使って表せ。
ルートの中身の大小を比べると
\[7<11\]
なので
\[\sqrt{7} \lt \sqrt{11} \]
となります。
もう一問、問題を解いてみましょう。
$3$ と $\sqrt{10}$ の大小を、不等号を使って表せ。
ルートが付いていない数は、ルートを付けて表すことで大小比較をできるようになります。
\[ 3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}\]
なので、
\[ \sqrt{9} < \sqrt{10} \]
より、
\[ 3 < \sqrt{10} \]
となります。