円錐の表面積の求め方 - 公式と計算例

円錐の表面積を求める公式

前述の通り、円錐の表面積 S を求める公式は、次の通りです。

この式に出てくる文字の意味は、次の通りです。

S

円錐の表面積（Surface area）

π

円周率（= 3.14…）

r

底面の円の半径（Radius）

R

母線の長さ

立体の表面積は、展開図を書いて求めます。円錐の場合も同様に、展開図を書いて考えてみましょう。

ここでは、公式化するために、底面の半径 r 、母線の長さ R の円錐を考えます。

円錐の展開図を理解する上で大事なポイントは次の3点です。

• 側面を展開すると半径 R の扇形になる。
• 側面を展開してできる扇形の弧の長さと、底面の円周の長さは等しい。
• 半径が等しい扇形の面積は、弧の長さに比例する。

まず、底面は円なので、底面積はそのまま、$ \pi r^2 $ で求めることが出来ますね。

円錐の側面を展開すると、扇形になります。ここで、図に赤線で示した「扇形の弧」と「底面の円周」は、もともと接していたため、長さが等しいことに注目します。つまり、底面の円周は $ 2\pi r $ なので、扇形の弧の長さも $ 2\pi r $ になります。

最後に、扇形の面積は弧の長さに比例することを用います。半径 R の円周は $ 2\pi R $、面積は $\pi R^2 $ です。この円のうち、弧の長さ $ 2\pi r $ となる扇形の面積を求めればよいことが分かります。つまり、半径 R の円の面積に、「円周に対する弧の長さの割合」を掛ければよいのです。計算すると、

\begin{align*} \text{扇形の面積} &= \pi R^2 \times \frac{2\pi r}{2\pi R} \\[5pt] &= \pi Rr \end{align*}

となり、側面積が求まりました。よって円錐の側面積 S は、底面積と側面積を足し合わせて、

\begin{align*} S &= \pi r^2 + \pi Rr \\[5pt] &= \pi r(r+R) \end{align*}

となります。これが円錐の表面積を求める公式です。

続いては、実際に計算問題を解いてみましょう。

円錐の表面積を求める計算問題

底面の半径と母線の長さから体積を求める問題

次の問題は、公式を使って解く方法と、公式を使わずに解く方法の2種類をご紹介します。

底面の半径 2、母線の長さ 6 の円錐の表面積 S を求めよ。

公式を使って解く方法

円錐の表面積を求める公式を覚えていれば、ただそれに代入すればいいだけですね。$ r = 2, R=6 $ より

\begin{align*} S &= \pi r(r+R) \\[5pt] &= \pi \times 2 \times (2+6) \\[5pt] &= 16 \pi \\ \end{align*}

公式を使わずに解く方法

公式使わない場合は、一度展開図を書いて考えてみましょう。

まず、底面積は $ \pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi $ と求まります。

次に、「底面の円周の長さ」と「側面を展開してできた扇形の弧の長さ」は等しく、ともに $ 2 \pi r = 2 \pi \times 2 = 4 \pi $ です。

半径 6 の円の面積は $ \pi \times 6^2 = 36 \pi $、円周の長さは $ 2\pi R = 2\pi \times 6 = 12\pi $ です。よって弧の面積は、半径 6 の円の面積 $36\pi$ に、「円周の長さ $12\pi$ に対する弧の長さ $4\pi$ の割合」をかけて

\begin{align*} \text{側面積} &= 36\pi \times \frac{4\pi}{12\pi} \\[5pt] &= 12\pi \end{align*}

最後に、円錐の表面積は、底面積と側面積を足し合わせて

\begin{align*} S &= 4\pi + 12\pi \\[5pt] &= 16\pi \end{align*}

となります。

※ 補足

ちなみに、扇形の面積同様、扇形の中心角も弧の長さに比例します。よって、この円錐の側面を展開して得られた扇形の中心角 $\theta$ は

\begin{align*} \theta &= 360^\circ \times \frac{4\pi}{12\pi} \\[5pt] &= 120^\circ \end{align*}

と求まります。