三角関数の公式一覧

座標平面上に、原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $r$ の円を描く。$x$ 軸の正の部分を始線として、角 $\theta$ の動径と円 $\mathrm{O}$ との交点の座標を $\mathrm{P}(x,y)$ としたとき、$\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$ をそれぞれ次のように定義する。

\begin{align*} \sin \theta = \frac{y}{r} \\[5pt] \cos \theta = \frac{x}{r} \\[5pt] \tan \theta = \frac{y}{x} \\[5pt] \end{align*}

ただし、$x=0$ となるような $\theta$ に対して、$ \tan \theta $ は定義されない。

1 ラジアンは円の半径の長さに等しい弧に対する中心角の大きさ

\begin{align*} \sin A = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} \\[5pt] \cos A = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} \\[5pt] \tan A = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=1 \\[5pt] 1+\tan^2 \theta &= \frac{1}{\cos^2 \theta} \\[5pt] \tan \theta &= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \sin (\theta + 2n\pi ) &= \sin \theta \\[5pt] \cos (\theta + 2n\pi ) &= \cos \theta \\[5pt] \tan (\theta + 2n\pi ) &= \tan \theta \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \sin (-\theta) &= -\sin \theta \\[5pt] \cos (-\theta) &= \cos \theta \\[5pt] \tan (-\theta) &= -\tan \theta \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2} \right) &= \cos{\theta} \\[5pt] \cos \left(\theta + \frac{\pi}{2} \right) &= -\sin{\theta} \\[5pt] \tan \left(\theta + \frac{\pi}{2} \right) &= -\frac{1}{\tan \theta} \\[5pt]\end{align*}

\begin{align*} \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) &= \cos{\theta} \\[5pt] \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) &= \sin{\theta} \\[5pt] \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) &= \frac{1}{\tan \theta} \\[5pt]\end{align*}

\begin{align*} \sin \left(\theta + \pi \right) &= -\sin \theta \\[5pt] \cos \left(\theta + \pi \right) &= -\cos \theta \\[5pt] \tan \left(\theta + \pi \right) &= \tan \theta \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \sin (\pi - \theta) &= \sin \theta \\[5pt] \cos (\pi - \theta) &= -\cos \theta \\[5pt] \tan (\pi - \theta) &= -\tan \theta \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \sin(\alpha \pm \beta) &= \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \\[5pt] \cos(\alpha \pm \beta) &= \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \\[5pt] \tan(\alpha \pm \beta) &= \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \sin2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\[5pt] \cos2\alpha &= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \\[5pt] &= 1-2\sin^2\alpha \\[5pt] &= 2\cos^2\alpha -1 \\[5pt] \tan2\alpha &= \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align*}

\begin{align*} \sin3\alpha &= 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha \\[5pt] \cos3\alpha &= 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \sin^2\frac{\alpha}{2} &= \frac{1-\cos\alpha}{2} \\[5pt] \cos^2\frac{\alpha}{2} &= \frac{1+\cos\alpha}{2} \\[5pt] \tan^2\frac{\alpha}{2} &= \frac{1+\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \sin\alpha \cos\beta &= \frac{1}{2} \{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha - \beta) \} \\[5pt] \cos\alpha \sin\beta &= \frac{1}{2} \{ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha - \beta) \} \\[5pt] \cos\alpha \cos\beta &= \frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha - \beta) \} \\[5pt] \sin\alpha \sin\beta &= - \frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha - \beta) \} \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \sin \alpha + \sin \beta &= 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\[5pt] \sin \alpha - \sin \beta &= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\[5pt] \cos \alpha + \cos \beta &= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\[5pt] \cos \alpha - \cos \beta &= -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} (\sin x )' &= \cos x \\[5pt] (\cos x)'& = - \sin x \\[5pt] \left( \tan x \right)' &= \frac{1}{\cos^2 x} \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \left(\frac{1}{\tan x} \right)' &= - \frac{1}{\sin^2 x} \end{align*}

\begin{align*} \left(\sin x \right)^{(n)} &= \sin \left( x + \frac{1}{2}n \pi \right) \\ \left(\cos x \right)^{(n)} &= \cos \left( x + \frac{1}{2}n \pi \right) \end{align*}

\begin{align*} \int \sin x \,dx &= -\cos x +C \\[5pt] \int \cos x \,dx &= \sin x +C \\[5pt] \int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx &= -\frac{1}{\tan x} +C \\[5pt] \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx &= \tan x +C \\[5pt] \end{align*}

$C$ は積分定数

\begin{align*} \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \end{align*}

$R$ は $\triangle ABC$ の外接円の半径

\begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2 -2bc\cos A \\[5pt] b^2 &= c^2+a^2-2ca\cos B \\[5pt] c^2 &= a^2+b^2-2ab\cos C \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} \cos A &= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\[5pt] \cos B &= \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \\[5pt] \cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} S &= \frac{1}{2}bc\sin A \\[5pt] &= \frac{1}{2}ca\sin B \\[5pt] &= \frac{1}{2}ab\sin C \\[5pt] \end{align*}

\begin{align*} S &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\[5pt] \text{ただし} \\[5pt] s &= \frac{a+b+c}{2} \end{align*}